CoursTroisième
Fonctions linéaires et proportionnalité
Fonction linéaire et proportionnalité
Une fonction linéaire s’écrit $f(x)=ax$, avec un coefficient $a$ fixé, positif, négatif ou nul. Son tableau est un tableau de proportionnalité. $f(0)=0$ et $f(1)=a$.
Pour $u\ne0$, $a=\frac{f(u)}{u}$. La seule donnée $f(0)=0$ ne détermine pas $a$. Un tableau partiel compatible ne prouve pas à lui seul qu’une fonction inconnue est linéaire.
| Antécédents de $b$ par $f(x)=ax$ | Résultat |
|---|---|
| $a\ne0$ | Un seul : $\frac{b}{a}$. |
| $a=0$ et $b=0$ | Tous les nombres autorisés. |
| $a=0$ et $b\ne0$ | Aucun. |
Pour une image, multiplie par $a$. Pour un antécédent, cherche l’entrée : ce sont deux questions différentes.
Voir un exemple — Reconnaître une fonction linéaire et ses limites
Reconnaître une fonction linéaire
La fonction $g$ définie par $g(x)=-2x$ est linéaire, de coefficient $-2$.
La fonction $z$ définie par $z(x)=0$ est aussi linéaire : son coefficient est $0$, car $0=0\times x$ pour tout $x$.
La fonction carré n'est pas linéaire. Le quotient de l'image par le nombre de départ vaut $1$ pour $x=1$, mais $2$ pour $x=2$ : il n'y a pas de coefficient unique.
La droite et la lecture des solutions
La représentation de $f(x)=ax$ sur tous les nombres est une droite non verticale passant par l’origine. Réciproquement, une telle droite représente une fonction linéaire. Si $a=0$, c’est l’axe horizontal.
Ne garde que les entrées autorisées : une portion de droite pour un domaine continu, seulement des points si les valeurs sont discrètes.
Pour $f(x)=b$, lis les abscisses des intersections avec le niveau $y=b$. Pour $f(x)\ge b$, garde les abscisses où la droite est sur ou au-dessus du niveau, dans le domaine étudié. Une lecture graphique peut être approchée.
Voir un exemple — Pourquoi une droite verticale ne représente pas une fonction
Deux axes à ne pas confondre
Pour un coefficient nul, la représentation est l'axe horizontal : tous ses points ont une ordonnée nulle.
L'axe vertical ne représente pas une fonction : à l'abscisse $0$ correspondraient plusieurs ordonnées, au lieu d'une seule image.
Le lien avec Thalès
Sur deux triangles non aplatis $OHP$ et $OKQ$, $O,H,K$ puis $O,P,Q$ sont alignés dans cet ordre. Les projections verticales $(HP)$ et $(KQ)$ sont parallèles. Thalès donne :
Par exemple, pour $P(2;y)$ et $Q(6;15)$, $\frac{2}{6}=\frac{y}{15}$ donne $y=5$. Les quotients ordonnée sur abscisse sont égaux : $\frac{5}{2}=\frac{15}{6}=2{,}5$.
Partager selon un ratio
Un ratio $r:s$ signifie $r$ et $s$ parts de même valeur, avec $r,s>0$. Pour des quantités dans la même unité, $\frac{A}{r}=\frac{B}{s}$.
Pour partager un total $T\ge0$, une part vaut $k=\frac{T}{r+s}$ ; les quantités sont $rk$ et $sk$. Pour trois poids positifs $r,s,t$, utilise $k=\frac{T}{r+s+t}$ puis $rk$, $sk$, $tk$. Vérifie le total.
Dans le ratio $3:5$, la première quantité représente $\frac{3}{8}$ du total, pas $\frac{3}{5}$.
Voir un exemple — Lire la valeur d’une part dans un ratio
Trois parts et cinq parts
Les quantités $12$ et $20$ sont dans le ratio $3\,:\,5$, car
Chaque part vaut $4$. Il y a $3+5=8$ parts au total, soit $8\times4=32$.
Utiliser une échelle
À l’échelle $\frac{1}{N}$, avec $N>0$, $1$ unité sur la carte représente $N$ unités réelles. Dans la même unité, $D=N\ell$. À l’échelle $\frac{1}{40\,000}$, $1$ cm représente $40\,000$ cm, soit $400$ m. Convertis les unités après avoir appliqué l’échelle.