Fonctions affines et résolution graphique

Fonction affine, image et antécédent

Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$, avec $a$ et $b$ fixés. Multiplie l’entrée par $a$, puis ajoute $b$. Si $b=0$, elle est linéaire ; si $a=0$, elle est constante.

Pour trouver un antécédent de $y$, résous $ax+b=y$. Si $a\ne0$, il vaut $\frac{y-b}{a}$. Si $a=0$, tous les nombres autorisés conviennent pour $y=b$ ; sinon, aucun.

Avec $f(x)=-1{,}5x+6$, $f(-2)=9$ et l’antécédent de $3$ est $2$, car $f(2)=3$. Des points alignés d’un tableau partiel ne prouvent pas à eux seuls qu’une fonction inconnue est affine.

Tracer une droite

La courbe d’une fonction affine sur tous les nombres est une droite non verticale passant par $(0;b)$. Choisis deux abscisses distinctes, calcule leurs images, place les deux points et trace leur droite. Garde seulement la partie correspondant aux entrées autorisées. Une fonction constante donne une droite horizontale.

Lire les deux coefficients

$b=f(0)$ se lit à l’intersection avec l’axe vertical. Pour deux points $(u;f(u))$ et $(v;f(v))$ de la droite, avec $u\ne v$ :

Calcule les deux différences dans le même sens. Lis les unités des axes, pas seulement les carreaux. Si l’abscisse augmente de $1$, l’ordonnée change de $a$.

Ici $U(0;3)$ et $V(4;1)$ donnent $b=3$ et $a=\frac{1-3}{4-0}=-\frac{1}{2}$, donc $g(x)=-0{,}5x+3$. Le quotient $\frac{g(4)}{4}$ ne donne pas $a$ quand $b\ne0$. La précision des coefficients dépend de celle du graphique.