CoursTroisième
Théorème de Thalès
Les deux configurations de Thalès
Les deux droites passant par le sommet commun sont distinctes et les points nommés sont distincts. Le parallélisme doit être donné ou prouvé : le dessin ne suffit pas.
Triangles emboîtés
$A,M,B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A,N,C$. Si $(MN)\parallel(BC)$, alors :
Papillon
$A,O,B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $C,O,D$. Si $(AC)\parallel(BD)$, alors :
Tous les dénominateurs sont non nuls. Écris les rapports dans le même ordre en faisant correspondre les côtés des deux triangles.
Calculer une longueur
Voir un exemple — Partir du sommet commun
Dans la configuration emboîtée, $AB=8$ cm, $MB=5$ cm, $AC=6$ cm et $(MN)\parallel(BC)$. Comme $M$ est entre $A$ et $B$, $AM=8-5=3$ cm.
La longueur utilisée est $AM$, pas $MB$. Le résultat vérifie bien $AN<AC$.
Prouver ou réfuter un parallélisme
Vérifie d’abord les alignements et l’ordre des points de l’une des deux configurations ci-dessus. Compare exactement les rapports issus du sommet commun.
| Configuration | Réciproque : rapports égaux | Contraposée : rapports différents |
|---|---|---|
| Emboîtée | $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ donne $(MN)\parallel(BC)$. | $\frac{AM}{AB}\ne\frac{AN}{AC}$ donne $(MN)$ et $(BC)$ non parallèles. |
| Papillon | $\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$ donne $(AC)\parallel(BD)$. | $\frac{OA}{OB}\ne\frac{OC}{OD}$ donne $(AC)$ et $(BD)$ non parallèles. |
L’égalité de deux rapports suffit pour la réciproque, sous les bonnes conditions de position. Mélanger une disposition emboîtée et une disposition opposée empêche de conclure. Deux arrondis identiques ne prouvent pas une égalité.
Voir un exemple — Conclure avec des fractions exactes
Deux fractions proches mais différentes
Sur deux droites distinctes, $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que $A$, $N$, $C$. Avec les longueurs exactes $AM=4$ cm, $AB=10$ cm, $AN=5$ cm et $AC=12$ cm :
Ces rapports sont différents. La contraposée de Thalès permet de conclure que $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Comprendre pourquoi — Pourquoi la réciproque de Thalès est vraie
Dans un triangle $ABC$ non aplati, $M$ est à l’intérieur de $[AB]$ et $N$ à l’intérieur de $[AC]$. On suppose $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.
La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N'$. Le théorème de Thalès donne :
Comme $AC>0$, on obtient $AN'=AN$. Les points $N$ et $N'$ sont sur la même demi-droite issue de $A$ : ils coïncident. Ainsi, $(MN)\parallel(BC)$.
La droite des milieux
Dans un triangle $ABC$ non aplati :
- Si $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$, alors $(IJ)\parallel(BC)$.
- Dans ce cas, $IJ=\frac{BC}{2}$.
- Si $I$ est le milieu de $[AB]$, $J\in[AC]$ et $(IJ)\parallel(BC)$, alors $J$ est le milieu de $[AC]$.
Le lien avec la proportionnalité
Dans cette figure, la droite passe par l’origine et les deux triangles sont non aplatis. Leurs projections verticales sont parallèles. Thalès donne des rapports égaux : les coordonnées sont proportionnelles. Pour $U(2;3)$ et $V(6;9)$, le coefficient est $\frac{3}{2}=\frac{9}{6}=1{,}5$.
