Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths · Troisième

Les trois rapports dans un triangle rectangle

Choisis un angle aigu $\beta$, entre $0^\circ$ et $90^\circ$, dans un triangle rectangle. L’hypoténuse est opposée à l’angle droit. Le côté adjacent touche $\beta$ sans être l’hypoténuse ; le côté opposé est en face de $\beta$.

ABC rectangle en A ; pour l’angle beta au sommet B, AB est adjacent, AC opposé et BC hypoténuse.

\cos\beta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},\qquad \sin\beta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}},\qquad \tan\beta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.

Utilise des longueurs dans la même unité, toutes positives. Les rapports sont sans unité et dépendent de l’angle, pas de la taille du triangle. Changer d’angle échange adjacent et opposé ; l’hypoténuse reste la même.

$0<\cos\beta<1$, $0<\sin\beta<1$ et $\tan\beta>0$ ; la tangente peut dépasser $1$. Pour $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB=5$, $AC=12$, $BC=13$, on a pour $\beta=\widehat{ABC}$ : $\cos\beta=\frac{5}{13}$, $\sin\beta=\frac{12}{13}$, $\tan\beta=\frac{12}{5}$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la taille du triangle ne change pas les rapports

Les triangles non aplatis $OAB$ et $OCD$ sont rectangles en $A$ et en $C$. Ils ont le même angle aigu en $O$ ; $O,A,C$ et $O,B,D$ sont alignés dans cet ordre.

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires à $(OC)$, donc parallèles. Thalès donne un même facteur positif $k$ tel que $OC=k\,OA$, $OD=k\,OB$ et $CD=k\,AB$.

\frac{OC}{OD}=\frac{k\,OA}{k\,OB}=\frac{OA}{OB},\quad \frac{CD}{OD}=\frac{AB}{OB},\quad \frac{CD}{OC}=\frac{AB}{OA}.

Les dénominateurs sont positifs. Les trois rapports sont donc conservés quand la taille du triangle change.

Trouver une longueur ou un angle

Repère les deux côtés connus ou recherchés, puis choisis le rapport qui les relie. Écris l’égalité avant d’isoler la longueur inconnue, surtout lorsqu’elle est au dénominateur.

Pour des angles en degrés, règle la calculatrice en mode degré (DEG). Garde les valeurs complètes pendant le calcul et arrondis seulement le résultat final à la précision demandée.

Pour $\cos\beta=0{,}72$, la commande arccos (souvent $\cos^{-1}$) donne $\beta\approx44^\circ$ au degré près. Elle recherche un angle ; elle ne calcule pas $\frac{1}{0{,}72}$. Les commandes arcsin et arctan servent de même pour sinus et tangente.

Vérifier l’angle droit

N’utilise ces rapports que dans un triangle rectangle. Pour $ABC$ rectangle en $A$, Pythagore donne $BC^2=AB^2+AC^2$.

Avec des côtés $5$, $6$, $8$, le plus grand côté vérifie $8^2=64\ne5^2+6^2=61$ : le triangle n’est pas rectangle, par la contraposée de Pythagore. Un quotient de côtés ne suffit donc pas à donner le cosinus d’un angle.