CoursTroisième
Vecteurs et translations
Déplacer par une translation
La translation qui transforme $A$ en $B$ déplace chaque point dans la même direction, le même sens et de la même longueur $AB$. Pour $A\ne B$ et $M$ hors de $(AB)$, son image $M'$ complète le parallélogramme $ABM'M$, dans cet ordre.
Si $M\in(AB)$, reporte $AB$ à partir de $M$ dans le sens de $A$ vers $B$. Si $A=B$, chaque point reste fixe : c’est l’identité.
Une translation conserve les longueurs, angles, alignements et parallélisme. Elle déplace sans tourner ni retourner la figure ; ne la confonds pas avec une symétrie axiale ou un demi-tour.
Voir un exemple — Construire deux images avec le même déplacement
La translation qui envoie $A(-2;1)$ sur $B(1;2)$ déplace chaque point de $3$ unités vers la droite et $1$ vers le haut.
Elle envoie donc $M(-1;-2)$ sur $M'(2;-1)$ et $N(0;-2)$ sur $N'(3;-1)$. Dans les deux cas, on ajoute $3$ à l’abscisse et $1$ à l’ordonnée.
Vecteurs égaux, nul et opposé
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente le déplacement de $A$ vers $B$. Deux vecteurs représentent la même translation s’ils sont égaux. Pour des vecteurs non nuls, il faut la même direction, le même sens et la même longueur.
Dans un quadrilatère $ABCD$ non aplati, $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Attention à l’ordre des lettres : $\overrightarrow{CD}$ a le sens contraire.
Le vecteur nul $\vec0=\overrightarrow{AA}$ a une longueur nulle, sans direction ni sens déterminés. L’opposé représente le retour : $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$. Il conserve direction et longueur et inverse le sens ; l’opposé de $\vec0$ est $\vec0$.
Enchaîner des déplacements : Chasles
La somme de deux vecteurs représente deux translations successives. Le point d’arrivée du premier déplacement devient le point de départ du second :
C’est la relation de Chasles. Aucun alignement n’est nécessaire ; les points peuvent être confondus. Si $A=C$, la somme est nulle.
Dans ce triangle rectangle, $AB=3$ cm et $BC=4$ cm, mais $AC=5$ cm : additionner des vecteurs ne revient pas à additionner leurs longueurs.
Construire une somme par un parallélogramme
Pour $X,Y,Z$ non alignés, complète le parallélogramme $XYWZ$. Les deux vecteurs partant de $X$ ont pour somme la diagonale issue de $X$ :
Le bout à bout et le parallélogramme représentent le même enchaînement de translations.
Comprendre pourquoi — Pourquoi la diagonale représente la somme
Pour appliquer Chasles après $\overrightarrow{XY}$, il nous faut un représentant du second vecteur qui parte de $Y$.
Dans le parallélogramme $XYWZ$, les côtés opposés donnent $\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{YW}$. Par la relation de Chasles,
La diagonale $XW$ représente donc bien le déplacement total.