Sphère, boule, sections et volumes : cours de maths · Troisième

Sphère, boule, diamètre

Dans l’espace, pour un centre $O$ et un rayon $r>0$, la sphère est la surface des points à distance $r$ de $O$. La boule est le solide plein des points à distance inférieure ou égale à $r$ : elle inclut son bord.

Vue en perspective : $M$ est sur la sphère. L'intérieur appartient à la boule.

Un diamètre traverse le centre et joint deux points de la sphère ; sa longueur vaut $2r$. Un plan passant par le centre coupe la sphère en un grand cercle, de centre $O$ et de rayon $r$.

Voir un exemple — Un point peut appartenir à la boule sans être sur la sphère

Appartenir à la surface ou au solide

Pour un rayon de $4$ cm, un point situé à $3$ cm de $O$ appartient à la boule, mais pas à la sphère.

Un point situé à $4$ cm de $O$ appartient aux deux. Un point situé à $5$ cm de $O$ n'appartient à aucun des deux.

Reconnaître les solides et un patron

Cube : six faces carrées de même côté ; pavé droit : six faces rectangulaires.
Prisme droit : deux bases polygonales superposables, faces latérales rectangulaires.
Cylindre de révolution : deux bases en disques, surface latérale courbe.
Pyramide : une base polygonale, faces latérales triangulaires rejoignant un sommet.
Cône : une base en disque, surface latérale courbe rejoignant le sommet.

Les pointillés repèrent les arêtes ou contours cachés. Les cercles des bases sont vus en perspective.

Un patron est un assemblage plan de faces qui reconstitue le solide par pliage. Dans une pyramide à base carrée, il faut quatre faces latérales triangulaires. Les arêtes destinées à se rejoindre doivent se raccorder avec la même longueur. La perspective peut déformer l’aspect d’une face : utilise les données et le codage.

Calculer un volume

\text{Boule : }V=\frac{4}{3}\pi r^3,\qquad \text{pyramide : }V=\frac{\mathcal A h}{3},\qquad \text{cône : }V=\frac{\pi r^2h}{3}.

$r>0$ est le rayon, $\mathcal A>0$ l’aire de la base et $h>0$ la hauteur perpendiculaire au plan de la base. La hauteur n’est pas une arête oblique. Si le diamètre est donné, divise-le par deux.

Exprime les longueurs dans la même unité : avec des centimètres, le volume est en cm³. Pour une boule de rayon $0{,}8$ mm, $V=\frac{4}{3}\pi(0{,}8)^3\approx2{,}14$ mm³. Garde la valeur exacte jusqu’à l’arrondi final.

Sections de pavé et de cylindre

La section par un plan est l’ensemble des points communs au plan et au solide. Pour les coupes suivantes, le plan traverse l’intérieur.

Un pavé droit coupé parallèlement à une face donne un rectangle de mêmes dimensions que cette face.

Dans un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$, une coupe perpendiculaire à l’axe donne un disque de rayon $r$. Une coupe parallèle à l’axe donne un rectangle de hauteur $h$ ; sa largeur est une corde de la base, égale à $2r$ seulement si le plan contient l’axe.

À gauche, section en disque ; au centre, rectangle axial de largeur 2r. À droite, vue de dessus de la base avec une corde AB non diamétrale, et rectangle de coupe vu de face de largeur AB et de hauteur h.

Comprendre pourquoi — Pourquoi une section parallèle garde les dimensions de la face

Comprendre la règle

La coupe parallèle à une face est son image par une translation. Longueurs et angles droits sont conservés : la section est un rectangle de mêmes dimensions.

Section d’une boule

Un plan traversant l’intérieur d’une boule donne un disque ; son bord est un cercle sur la sphère. S’il passe par le centre, le disque a le même rayon que la boule et son bord est un grand cercle.

Vue en perspective d'une coupe non centrale. Le disque a pour centre $H$ et $M$ est choisi sur son bord : $OM=r$. Le codage montre l'angle droit en $H$.

Un plan tangent touche la boule en un seul point. Un plan extérieur ne la rencontre pas : l’intersection est vide. Ne confonds pas le disque plein, section de la boule, et son cercle de bord.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la section intérieure d’une boule est un disque

Une boule de centre $O$ et de rayon $r>0$ est coupée par un plan traversant son intérieur. Soit $H$ le pied de la perpendiculaire de $O$ au plan : $OH<r$.

Si $H=O$, les points du plan appartenant à la boule vérifient $HM\le r$ : ils forment le disque de centre $H$ et de rayon $r$.

Si $OH>0$, pour un point $M$ du plan distinct de $H$, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. Pythagore donne $OM^2=OH^2+HM^2$ ; l’égalité reste immédiate pour $M=H$.

OM\le r\quad\Longleftrightarrow\quad HM^2\le r^2-OH^2\quad\Longleftrightarrow\quad HM\le\sqrt{r^2-OH^2}.

Comme $r^2-OH^2>0$, ces points forment un disque de centre $H$. Les points d’égalité forment son cercle de bord.