CoursTroisième
Statistiques : effectifs cumulés, quartiles et boîtes à moustaches
Moyenne, médiane et étendue
Une série comporte $N\ge1$ observations. La moyenne additionne toutes les valeurs puis divise par $N$. Avec des effectifs :
La moyenne est entre le minimum et le maximum. L’étendue est maximum moins minimum, dans l’unité des valeurs.
Range les observations en ordre croissant, répétitions comprises. La médiane laisse au moins la moitié des observations de chaque côté, égalités comprises. Convention de ce cours : pour $N$ impair, prends la valeur centrale ; pour $N$ pair, la moyenne des deux centrales.
Pour $2;5;7;10$, la médiane est $\frac{5+7}{2}=6$, valeur non observée. Avec une seule observation, moyenne et médiane valent cette observation et l’étendue vaut $0$.
Voir un exemple — Calculer les indicateurs d’une série d’effectif impair
Les cinq valeurs $7;3;8;4;13$ se rangent dans l’ordre $3;4;7;8;13$. La médiane est la troisième valeur, soit $7$.
La moyenne et la médiane valent ici toutes deux $7$, mais elles sont obtenues par deux méthodes différentes.
Comprendre pourquoi — Pourquoi les effectifs pondèrent la moyenne
La valeur $v_i$ figure $n_i$ fois dans la série : sa contribution à la somme est donc $n_iv_i$. En regroupant ainsi toutes les observations, on obtient
Chaque observation est comptée une seule fois, donc $N=n_1+\cdots+n_p>0$. Diviser la somme par cet effectif donne la formule pondérée. Il faut bien conserver les répétitions, et non faire la moyenne des seules valeurs différentes.
Cumulés et quartiles
L’effectif cumulé croissant compte les observations inférieures ou égales à une valeur. Additionne les effectifs dans l’ordre ; le dernier cumul doit être $N$. Pour lire le rang $r$, cherche la première valeur dont le cumul atteint ou dépasse $r$.
| Valeur | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $18$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | $2$ | $4$ | $5$ | $4$ | $3$ |
| Cumul | $2$ | $6$ | $11$ | $15$ | $18$ |
Convention utilisée ici, non fixée par le BO : $Q_1$ est la valeur au rang égal au plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{N}{4}$ ; $Q_3$ utilise de même $\frac{3N}{4}$. Le rang et la valeur sont différents.
Ici $N=18$ : rangs $5$ et $14$, donc $Q_1=10$ et $Q_3=14$. Les rangs centraux $9$ et $10$ donnent tous deux $12$, donc la médiane est $12$. Au moins $25\,\%$ des valeurs sont au plus $Q_1$ et au moins $75\,\%$ au plus $Q_3$, pas nécessairement exactement.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le premier cumul suffisant donne la bonne valeur
On cherche la valeur de l’observation de rang $r$, avec $1\le r\le N$, dans la série ordonnée. Choisis la première colonne dont l’effectif cumulé atteint ou dépasse $r$.
Le cumul précédent est strictement inférieur à $r$ : l’observation n’a pas encore été comptée. Le cumul de la colonne choisie atteint ou dépasse $r$ : elle est maintenant comptée et possède la valeur de cette colonne. Pour la première colonne, le cumul précédent vaut $0$.
Lire une boîte à moustaches
Sur un même axe gradué, place minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$ et maximum. La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$, un trait marque la médiane, et les moustaches rejoignent les extrêmes. Ici : $8;10;12;14;18$.
La hauteur de la boîte n’a pas de sens statistique. Pour comparer des séries, vérifie l’échelle, l’unité et l’indicateur choisi. Une boîte ne donne généralement ni l’effectif, ni la moyenne, ni toutes les observations.
Contrôler un calcul au tableur
Saisis des données numériques et indique l’unité dans le titre. Le tableur peut calculer moyenne, médiane et étendue, et additionner les effectifs pour les cumulés. Contrôle l’effectif total et les résultats.
Avec un tableau d’effectifs, la moyenne doit tenir compte des répétitions. Une fonction de quartile peut employer une autre convention : pour celle de ce cours, calcule les rangs puis lis les valeurs dans les cumulés.