Probabilités : réunion, intersection, expériences indépendantes et simulation : cours de maths · Troisième

Événements et probabilités

Une expérience aléatoire a un résultat imprévisible avec certitude. Une issue est un résultat possible ; l’univers $\Omega$ rassemble toutes les issues. Un événement est un ensemble d’issues. $\Omega$ est certain ; $\varnothing$ est impossible.

Dans le cas fini, chaque issue a une probabilité positive ou nulle et leur somme vaut $1$. $P(E)$ additionne les probabilités des issues de $E$ : $0\le P(E)\le1$, $P(\Omega)=1$ et $P(\varnothing)=0$.

Si les $N\ge1$ issues sont équiprobables, $P(E)=\frac{k}{N}$ pour $k$ issues favorables. L’équiprobabilité est une hypothèse : le mot hasard ne suffit pas à l’établir.

P(\overline{A})=1-P(A).

$\overline{A}$ rassemble les issues qui n’appartiennent pas à $A$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la probabilité vaut le nombre d’issues favorables sur le total

Supposons les $N\ge1$ issues équiprobables et notons $p$ leur probabilité commune. La somme des probabilités vaut $1$, donc $Np=1$ et $p=\frac{1}{N}$.

Pour un événement comprenant $k$ issues favorables, avec $0\le k\le N$, on additionne leurs probabilités :

P(E)=k\times\frac{1}{N}=\frac{k}{N}.

Pour $k=0$, on obtient $0$ ; pour $k=N$, on obtient $1$. Sans équiprobabilité, ce comptage ne suffit pas.

Réunion et intersection

Pour deux événements du même univers, $A\cup B$ signifie « $A$ ou $B$ », éventuellement les deux ; $A\cap B$ signifie « $A$ et $B$ ».

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

L’intersection est comptée deux fois dans la somme : on la retire une fois. Cette relation n’exige pas l’équiprobabilité. Si les événements sont incompatibles, l’intersection est vide et on peut simplement additionner.

Parmi les numéros équiprobables de $1$ à $12$, $A$ est « multiple de $3$ » et $B$ « pair ». $P(A)=\frac{1}{3}$, $P(B)=\frac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ :

P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}.

L’intersection $A\cap B$ est la zone commune aux deux cercles contenant $6$ et $12$. Les douze tickets sont répartis entre quatre zones disjointes, sans omission ni double inscription.

Vérifie la cohérence : le résultat doit être entre $0$ et $1$ ; une intersection ne peut pas être plus probable que chacun des deux événements.

Voir un exemple — Détecter trois probabilités incompatibles

Contrôler la cohérence de probabilités annoncées

Si $P(E)=0{,}75$, $P(F)=0{,}60$ et $P(E\cap F)=0{,}10$, la relation imposerait $P(E\cup F)=0{,}75+0{,}60-0{,}10=1{,}25$. Une probabilité ne pouvant dépasser $1$, ces trois données ne décrivent pas un même modèle probabiliste.

Fréquence, répétitions et stabilisation

Des répétitions sont indépendantes quand les résultats passés ne modifient pas les chances aux essais suivants. Après $N\ge1$ essais et $c$ succès, la fréquence observée est $\frac{c}{N}$, entre $0$ et $1$.

La probabilité décrit les chances attribuées à l’événement ; la fréquence décrit les résultats observés. Deux séries de même taille peuvent donner des fréquences différentes.

Courbe de la fréquence de la réunion pour une exécution de dix mille tirages, relevée tous les cent tirages.

Dans les relevés illustrés, les fréquences se stabilisent globalement autour de $\frac{2}{3}$ lorsque les essais deviennent nombreux. Elles ne se rapprochent pas à chaque étape et ne sont pas forcément égales à cette probabilité. Un essai supplémentaire ne garantit pas une amélioration.