CoursSeconde
Nombres réels, intervalles et valeur absolue
Les ensembles de nombres
Les réels $\mathbb R$ sont les abscisses des points d’une droite graduée. Le plus petit de deux nombres se situe à gauche.
Un décimal a une écriture finie : $\frac{m}{10^n}$ avec $m\in\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$. Un rationnel est un quotient $\frac{p}{q}$ d’entiers avec $q\ne0$. Un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel.
$\frac{1}{3}$ est rationnel mais non décimal ; $\sqrt2$ et $\pi$ sont irrationnels. Un affichage approché de calculatrice n’est pas une valeur exacte. Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble ; $\subseteq$ relie deux ensembles.
Comprendre pourquoi — Pourquoi la racine de 2 est irrationnelle
Supposons $\sqrt2=\frac pq$ avec $p,q$ entiers strictement positifs et la fraction irréductible. Au carré, $p^2=2q^2$. Le carré d’un impair étant impair, $p$ est pair ; écrire $p=2k$ donne $4k^2=2q^2$, donc $q^2=2k^2$. Le même argument rend $q$ pair. Le diviseur commun $2$ contredit l’irréductibilité : $\sqrt2$ est irrationnel.
Comparer
$a-b<0$ signifie $a<b$ ; pour $a,b>0$, $\frac{a}{b}<1$ signifie aussi $a<b$.
Lire un intervalle
Un intervalle contient tous les réels entre ses éléments. Une borne dans un crochet fermé est incluse ; dans un crochet ouvert, elle est exclue. Pour $a<b$ :
$[a;+\infty[$ signifie $x\geq a$ ; $]a;+\infty[$ signifie $x>a$. À gauche, $]-\infty;b]$ signifie $x\leq b$ et $]-\infty;b[$ signifie $x<b$. Les infinis ne sont pas des nombres : leur crochet est toujours ouvert.
Réunir ou croiser des ensembles
$A\cap B$ contient les éléments de $A$ et de $B$ ; $A\cup B$ ceux de $A$ ou de $B$, éventuellement des deux. $\varnothing$ est l’ensemble vide. Le complémentaire $E\setminus A$, ou $\overline A$, contient les éléments de l’ensemble de référence $E$ qui ne sont pas dans $A$.
Par exemple, $[-2;3]\cap[1;5]=[1;3]$. Un couple $(a;b)$ est ordonné. $A\times B$ est l’ensemble des couples avec $a\in A$, $b\in B$ ; $\operatorname{Card}(A)$ est le nombre d’éléments de $A$ si $A$ est fini.
Voir un exemple — Une borne manquante sépare deux intervalles
Une borne manquante sépare deux intervalles
On considère $K=[-3\,;1[$ et $L=]1\,;4]$. Appartenir aux deux imposerait à la fois $x<1$ et $x>1$, ce qui est impossible. Leur intersection est vide :
Leur réunion contient les réels de $-3$ à $4$, sauf $1$ :
Cette réunion n'est pas un intervalle : elle contient $0$ et $2$, mais pas $1$, pourtant situé entre eux. On ne peut donc pas la remplacer par $[-3\,;4]$.
Valeur absolue et distance
$|a|$ est la distance de $a$ à zéro : $|a|=a$ si $a\geq0$, $|a|=-a$ si $a<0$. La distance entre $a$ et $b$ est $|b-a|$. Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2}=|a|$.
Il s’agit des points à distance au plus $r$ du centre $a$. Pour $r=0$, seul $a$ convient ; pour $r<0$, aucune distance ne convient.
Voir un exemple — Calculer une distance dans les deux sens
Une distance ne porte pas de signe négatif
La distance entre les abscisses $-3$ et $2{,}5$ vaut
Calculer dans l'autre sens donne $|-3-2{,}5|=|-5{,}5|=5{,}5$ : la distance est la même.
Encadrer et arrondir
Un encadrement $u\leq x\leq v$ a pour amplitude $v-u$. À $10^{-n}$ près, cette amplitude est au plus $10^{-n}$. Un arrondi au rang choisi est la valeur de ce rang la plus proche.
On compte les chiffres significatifs à partir du premier chiffre non nul : $0{,}004786$ arrondi à trois chiffres significatifs vaut $0{,}00479$. Garder la valeur exacte jusqu’au résultat final ; $\approx$ signale une approximation. Vérifier l’ordre de grandeur et choisir une précision adaptée.