Calcul numérique et calcul algébrique : cours de maths · Seconde

Racines carrées

Pour $a\geq0$, $\sqrt a$ est le nombre positif ou nul dont le carré vaut $a$. Un réel négatif n’a pas de racine carrée réelle.

\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\ (a,b\geq0),\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\ (a\geq0,\ b>0),\qquad\sqrt{t^2}=|t|\ (t\in\mathbb R).

Attention : $\sqrt{9+16}=5$, alors que $\sqrt9+\sqrt{16}=7$. La racine ne se distribue pas sur une somme.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la racine d’un produit se sépare

Pour $a,b\geq0$, le produit $\sqrt a\sqrt b$ est positif ou nul et son carré vaut $ab$. Par unicité de la racine positive ou nulle, il vaut $\sqrt{ab}$. Cela inclut les facteurs nuls.

Puissances entières

Pour $n\geq1$ entier, $a^n$ est un produit de $n$ facteurs $a$. Si $a\ne0$, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. On n’utilise pas $0^0$.

a^ma^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^nb^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.

Ces règles valent pour $a,b\ne0$ et $m,n$ entiers relatifs ; une base nulle convient aussi si toutes les écritures restent définies. Les parenthèses comptent : $(-3)^2=9$ mais $-3^2=-9$. Une écriture scientifique positive est $u\times10^n$ avec $1\leq u<10$.

Voir un exemple — Regrouper des puissances de même base

On commence par $(3^2)^3=3^6$ et on écrit le dénominateur $3=3^1$. La base $3$ est non nulle.

\frac{(3^2)^3\times3^{-4}}{3}=\frac{3^{6-4}}{3^1}=3^{2-1}=3.

Le produit conduit à additionner les exposants ; le quotient conduit à les soustraire.

Fractions et valeurs interdites

Une expression est définie là où toutes ses opérations ont un sens. Exclure les valeurs qui annulent un dénominateur avant toute simplification. Pour $b,d\ne0$ :

\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b},\qquad \frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd},\qquad \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\quad(c\ne0),\qquad \frac{ka}{kb}=\frac{a}{b}\quad(k\ne0).

On simplifie un facteur commun, jamais des termes d’une somme : on ne peut pas supprimer les $x$ dans $\frac{x+2}{x}$.

Développer ou factoriser

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l’inverse ; réduire regroupe les termes de même nature. Pour tous réels :

a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac,\qquad ax^2+bx=x(ax+b),\qquad ax+bx=(a+b)x.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad(a+b)(a-b)=a^2-b^2.

Pour des longueurs $a,b>0$, les deux rectangles ont chacun pour aire $ab$. Ils font voir le terme $2ab$ de la première identité.

Choisir la forme selon le but : $(x-2)(x+2)=x^2-4$. La forme factorisée montre les valeurs $-2$ et $2$ qui annulent l’expression ; la forme développée facilite le calcul en $x=0$.

Voir un exemple — Développer le carré d’une différence

On reconnaît $(a-b)^2$ avec $a=3x$ et $b=2$. Pour tout réel $x$ :

(3x-2)^2=(3x)^2-2\times3x\times2+2^2=9x^2-12x+4.

Comprendre pourquoi — D’où vient le terme 2ab

Pour tous réels $a,b$, on écrit le carré comme un produit, puis on distribue :

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.\]

Les deux termes mixtes s’ajoutent car $ab=ba$. Le raisonnement algébrique vaut aussi pour des nombres négatifs.

Isoler une variable

On effectue les mêmes opérations dans les deux membres, sans diviser par zéro. Dans $ax+by=c$ :

x=\frac{c-by}{a}\quad(a\ne0),\qquad y=\frac{c-ax}{b}\quad(b\ne0).

Si le coefficient choisi est nul, la formule correspondante ne permet pas d’isoler la variable.

Inégalités et comparaisons

Ajouter un même réel conserve le sens d’une inégalité. Si $a\leq b$ et $c\leq d$, alors $a+c\leq b+d$. Multiplier par $k>0$ conserve le sens ; multiplier par $k<0$ l’inverse. Cela vaut aussi pour les inégalités strictes. Multiplier par zéro donne une égalité, pas une équivalence.

A<B\iff A-B<0;\qquad A<B\iff\frac{A}{B}<1\quad\text{si }A,B>0.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un facteur négatif inverse l’inégalité

La différence $kb-ka$ vaut $k(b-a)$. Si $k>0$, elle a le signe de $b-a$ ; si $k<0$, elle a le signe contraire.

Pour $k\ne0$, l’opération inverse divise par le même réel non nul. Cela justifie les équivalences, y compris pour les inégalités strictes. Pour $k=0$, les deux membres deviennent nuls : on ne peut pas retrouver l’inégalité initiale.

Conversions utiles

Si l’unité de longueur devient $k>1$ fois plus petite, la mesure est multipliée par $k$, par $k^2$ pour une aire et par $k^3$ pour un volume.

$1\ \mathrm L=1\ \mathrm{dm}^3$ ; $1\ \mathrm{mL}=1\ \mathrm{cm}^3$ ; $1\ \mathrm h=3\,600\ \mathrm s$ ; $1\ \mathrm t=1\,000\ \mathrm{kg}$. Pour passer de m/s à km/h, multiplier par $3{,}6$ ; pour revenir, diviser par $3{,}6$.