Équations, inéquations et étude de signes : cours de maths · Seconde

Résoudre sans perdre de solution

Une équation est une égalité avec une inconnue ; une inéquation est une inégalité. Résoudre dans un domaine $D$, c’est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie. Fixer $D$ avant de calculer : les dénominateurs doivent être non nuls.

Ajouter ou soustraire une même expression définie conserve les solutions. Pour une équation, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul aussi. Pour une inéquation, un nombre négatif impose d’inverser le sens. Une transformation non réversible impose de vérifier les candidats dans l’énoncé initial.

Équations du premier degré

$a+x=b$ donne $x=b-a$. Pour $ax=b$, si $a\ne0$, $x=\frac{b}{a}$ ; si $a=0$, tous les réels conviennent lorsque $b=0$, aucun lorsque $b\ne0$.

$ax+b=cx+d$ revient à $(a-c)x=d-b$. Si $a\ne c$, $x=\frac{d-b}{a-c}$ ; si $a=c$, tous les réels conviennent quand $b=d$, aucun sinon.

Produit nul et carré

A(x)B(x)=0\iff A(x)=0\ \text{ou}\ B(x)=0.

Cela vaut sur le domaine où les deux facteurs sont définis. Réunir les solutions ; ne pas diviser par un facteur qui pourrait être nul.

x^2=a:\quad \begin{cases}S=\varnothing& a<0,\\ S=\{0\}& a=0,\\ S=\{-\sqrt a;\sqrt a\}&a>0.\end{cases}

Comprendre pourquoi — Pourquoi une équation carrée a zéro, une ou deux solutions

Un carré étant positif ou nul, il ne peut pas être égal à $a<0$. Si $a=0$, l'égalité $x\times x=0$ impose $x=0$ par le produit nul.

Supposons maintenant $a>0$. Nous ramenons l'équation à un produit nul en factorisant la différence $x^2-a$. Puisque $(\sqrt a)^2=a$,

x^2=a\quad\Longleftrightarrow\quad(x-\sqrt a)(x+\sqrt a)=0.

Le produit nul donne $x=\sqrt a$ ou $x=-\sqrt a$. Ces deux valeurs sont distinctes puisque $a>0$, et chacune a pour carré $a$.

Équations avec un quotient

\frac{A(x)}{B(x)}=k\iff A(x)=kB(x)\quad\text{sur le domaine }B(x)\ne0.

Pour $\frac{a}{x}=b$, on impose $x\ne0$. Si $a,b\ne0$, la solution est $\frac{a}{b}$. Si $a=b=0$, tous les réels non nuls conviennent. Dans les deux autres cas, il n’y a aucune solution.

Un quotient vaut zéro seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul.

Comprendre pourquoi — Pourquoi conserver les valeurs interdites après multiplication

Pour des expressions $A(x),B(x)$ définies, un réel $k$ et chaque $x$ tel que $B(x)\ne0$, multiplier par $B(x)$ est réversible :

\frac{A(x)}{B(x)}=k\quad\Longleftrightarrow\quad A(x)=kB(x).

On peut revenir à l’équation initiale en divisant par le même nombre non nul. Son signe n’importe pas pour une égalité. Si $k=0$, on obtient $A(x)=0$, mais la condition $B(x)\ne0$ reste indispensable.

Inéquations du premier degré

Regrouper les termes en $x$ : $ax+b\leq cx+d$ revient à $(a-c)x\leq d-b$. Diviser par un coefficient positif conserve le sens ; par un coefficient négatif, l’inverse. S’il est nul, comparer les constantes : tous les réels ou aucun.

Les mêmes règles valent pour $<$, $>$ et $\geq$. Écrire la solution sous forme d’intervalle en respectant les bornes incluses ou exclues. Ainsi $-2x\leq6$ donne $x\geq-3$, soit $[-3;+\infty[$.

Signe et tableaux de signes

Pour $L(x)=ax+b$ avec $a\ne0$, poser $r=-\frac{b}{a}$. $L$ s’annule en $r$, a le signe de $a$ pour $x>r$ et le signe contraire pour $x<r$. Si $a=0$, son signe est celui de $b$.

Le tableau illustre $H(x)=6-2x$ : zéro en $3$, signe positif avant $3$, négatif après.

H est positive sur ]moins l'infini;3[, nulle en 3 et négative au-delà.

Un produit ou un quotient de nombres non nuls est positif si les signes sont identiques, négatif sinon. Un facteur nul annule le produit ; un dénominateur nul interdit la valeur.

Placer les zéros et valeurs interdites dans l’ordre, donner le signe de chaque facteur, puis combiner les lignes. Pour $\frac{x-2}{x+3}>0$, on obtient $]-\infty;-3[\cup]2;+\infty[$. Avec $\geq0$, ajouter $2$, jamais $-3$.

Pour comparer un quotient à une constante, soustraire la constante, mettre au même dénominateur, puis étudier le signe. Ne pas multiplier une inéquation par une expression de signe inconnu.

Les mots du raisonnement

Une proposition est vraie ou fausse dans un contexte fixé. « Et » exige les deux conditions ; « ou » en exige au moins une. La négation de « x<2 » est « x≥2 ». Un seul contre-exemple réfute une affirmation portant sur tous les éléments ; un exemple peut établir qu’il existe un élément convenable.

$P\Rightarrow Q$ n’affirme qu’un sens. La réciproque $Q\Rightarrow P$ doit être vérifiée séparément. La contraposée « non $Q$ implique non $P$ » est équivalente à l’implication initiale. $P\Leftrightarrow Q$ affirme les deux sens.

Raisonner par l’absurde : supposer le contraire du résultat recherché et obtenir une contradiction. Une disjonction des cas examine toutes les possibilités.

Voir un exemple — Examiner une implication et sa réciproque

Examiner chaque sens

L'implication $x=2\Longrightarrow x^2=4$ est vraie. Sa réciproque est fausse, comme le montre $x=-2$.

Sa contraposée est vraie : si $x^2\ne4$, alors $x\ne2$.

La formulation équivalente correcte est

x^2=4\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2\ \textbf{ou}\ x=2.