Vecteurs : calcul, coordonnées et géométrie : cours de maths · Seconde

Vecteurs et déplacements

Un vecteur non nul décrit une direction, un sens et une longueur. $\overrightarrow{AB}$ en est un représentant. Deux vecteurs sont égaux si leurs représentants ont même direction, même sens et même longueur. La norme est la longueur : $\|\overrightarrow{AB}\|=AB$.

Deux flèches distinctes représentent le même déplacement : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

$\overrightarrow{AA}=\vec0$ et $\|\vec0\|=0$. Le vecteur nul n’a ni direction ni sens. L’opposé vérifie $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$ et $-\vec0=\vec0$. La translation de vecteur $\vec u$ envoie $M$ sur $N$ tel que $\overrightarrow{MN}=\vec u$.

Additionner et multiplier

Pour additionner, placer les déplacements bout à bout. Avec deux représentants de même origine, la diagonale du parallélogramme représente la somme ; s’ils ont la même direction, la construction bout à bout reste valable.

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v).

Les deux déplacements successifs conduisent de $A$ à $C$.

Pour $\vec u\ne\vec0$ et $k\ne0$, $k\vec u$ a même direction que $\vec u$, même sens si $k>0$, sens opposé si $k<0$, et norme $|k|\|\vec u\|$. Les cas nuls sont $0\vec u=\vec0$ et $k\vec0=\vec0$.

Voir un exemple — Multiplier un vecteur par un nombre négatif

Un multiple négatif

On a $AB=2$ cm et l'on cherche $C$ tel que

\overrightarrow{AC}=-\frac32\overrightarrow{AB}.

Le point $C$ est sur la droite $(AB)$, de l'autre côté de $A$ que $B$, à la distance

AC=\frac32\times2=3\text{ cm}.

Bases et coordonnées

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction ; par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan : tout vecteur s’écrit de manière unique $a\vec u+b\vec v$. Ils ne sont pas forcément perpendiculaires.

Une base $(\vec i,\vec j)$ est orthonormée si ses vecteurs sont perpendiculaires et de norme $1$. Avec une origine $O$, elle donne un repère orthonormé.

\vec w=\binom{x}{y}\iff\vec w=x\vec i+y\vec j.

La première coordonnée est l’abscisse, la seconde l’ordonnée. Un repère simplement orthogonal peut avoir des unités différentes sur les axes.

Calculer avec les coordonnées

Dans une même base, pour $\vec u=\binom{x}{y}$, $\vec v=\binom{x'}{y'}$ et $k\in\mathbb R$ :

\vec u+\vec v=\binom{x+x'}{y+y'},\quad k\vec u=\binom{kx}{ky},\quad \vec u-\vec v=\binom{x-x'}{y-y'}.

\overrightarrow{AB}=\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}.

Deux vecteurs sont égaux exactement quand leurs deux coordonnées sont égales. On peut distribuer : $k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v$.

Voir un exemple — Calculer une combinaison de deux vecteurs

Une combinaison calculée

Pour $\vec u=\binom{2}{-3}$ et $\vec v=\binom{-1}{4}$,

\begin{aligned} 2\vec u-3\vec v &=\binom{4}{-6}-\binom{-3}{12}\\ &=\binom{4-(-3)}{-6-12}=\binom{7}{-18}. \end{aligned}

On multiplie d'abord chaque coordonnée, puis on soustrait les colonnes terme à terme.

Distance et milieu

Les formules de longueur suivantes demandent une base ou un repère orthonormé :

\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.

$I$ est le milieu de $[AB]$ exactement quand $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, ou $\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AB}$. Dans tout repère :

I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).

Comprendre pourquoi — Pourquoi la distance utilise la somme des carrés

Dans un repère orthonormé d’origine $O$, prenons $M(x;y)$, $H(x;0)$ et $\vec u=\overrightarrow{OM}$. Si $x,y\ne0$, le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OH=|x|$ et $HM=|y|$. Pythagore donne :

\[OM^2=|x|^2+|y|^2=x^2+y^2.\]

Si $x=0$, $OM=|y|$ ; si $y=0$, $OM=|x|$. L’égalité reste vraie, y compris lorsque les deux sont nuls. Comme $OM\geq0$, $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Pour $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, appliquer cette formule à $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ donne $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.