Colinéarité, déterminant et problèmes de géométrie : cours de maths · Seconde

Reconnaître des vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire si $\vec v=k\vec u$ pour un réel $k\ne0$. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Ces trois vecteurs ont la même direction ; leur sens et leur longueur peuvent différer.

Dans les coordonnées, un même multiplicateur doit convenir aux deux composantes. Une seule égalité ne suffit pas ; ne jamais diviser par une coordonnée nulle.

Voir un exemple — Vérifier le même multiplicateur sur les deux coordonnées

Le multiplicateur doit convenir aux deux coordonnées

Dans un repère orthonormé, considérons

\vec u=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix},\qquad \vec v=\begin{pmatrix}-6\\9\end{pmatrix},\qquad \vec w=\begin{pmatrix}-6\\8\end{pmatrix}.

Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel. Ainsi,

-3\vec u=\begin{pmatrix}-6\\9\end{pmatrix}=\vec v.

Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont donc colinéaires, de sens contraires.

Pour obtenir la première coordonnée de $\vec w$, le multiplicateur serait nécessairement $-3$. Or la seconde coordonnée serait alors $9$, et non $8$. Les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ ne sont donc pas colinéaires.

Le test du déterminant

Dans une même base orthonormée, pour $\vec u=\binom{x}{y}$ et $\vec v=\binom{x'}{y'}$ :

\det(\vec u;\vec v)=xy'-yx',\qquad \vec u,\vec v\ \text{colinéaires}\iff\det(\vec u;\vec v)=0.

Le test vaut aussi avec un vecteur nul, selon la convention précédente. Pour des vecteurs non nuls, il équivaut à la proportionnalité des deux coordonnées.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le déterminant nul caractérise la colinéarité

Si $x^{\prime}=kx$ et $y^{\prime}=ky$, alors $xy^{\prime}-yx^{\prime}=0$. Réciproquement, supposons le déterminant nul et $\vec u\ne\vec0$. Si $x\ne0$, prendre $k=\frac{x^{\prime}}{x}$ donne aussi $y^{\prime}=ky$. Si $x=0$, alors $y\ne0$ ; le déterminant impose $x^{\prime}=0$ et l’on prend $k=\frac{y^{\prime}}{y}$. Les coordonnées ont le même multiplicateur. Pour $\vec v\ne\vec0$, il est non nul.

Le cas de deux vecteurs non nuls vient d’être démontré. Si l’un des vecteurs est nul, ses deux coordonnées valent zéro : le déterminant est donc nul. La convention donne aussi la colinéarité. Le critère reste ainsi valable dans tous les cas.

Alignement et parallélisme

Pour $A\ne B$, les points $A,B,C$ sont alignés exactement quand $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires :

\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=0.

Deux vecteurs de même origine permettent de tester l’alignement.

Si deux points sont confondus, les trois appartiennent toujours à une même droite, mais deux points confondus ne définissent pas une droite unique.

Pour $A\ne B$ et $C\ne D$, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles exactement quand $\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})=0$. Deux droites confondues comptent ici comme parallèles. Pour les distinguer de parallèles strictes, tester l’appartenance d’un point.

Voir un exemple — Distinguer parallélisme et droites confondues

Deux droites parallèles et distinctes

Pour $A(1;-1)$, $B(4;1)$, $C(-2;3)$ et $D(4;7)$, les directeurs non nuls $\overrightarrow{AB}=(3;2)$ et $\overrightarrow{CD}=(6;4)=2\overrightarrow{AB}$ montrent que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

$\overrightarrow{AC}=(-3;4)$ donne $\det(AB;AC)=3\times4-2\times(-3)=18\ne0$. Donc $C\notin(AB)$ : les droites ne sont pas confondues, elles sont strictement parallèles.