Droites du plan : cours de maths · Seconde

Décrire une droite

Un vecteur directeur est non nul et donne la direction de la droite. Si $A\in d$, alors $M\in d$ exactement quand $\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à un directeur de $d$.

Une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ avec $(a,b)\ne(0,0)$. Un directeur est $\binom{-b}{a}$. Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l’équation. Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul conserve la droite.

À partir de $A(x_A;y_A)$ et d’un directeur $\binom{r}{s}\ne\binom00$, une équation est :

\[s(x-x_A)-r(y-y_A)=0.\]

Voir un exemple — Trouver une équation à partir de deux points

Déterminer une équation à partir de deux points

Pour $R(-3\,;1)$ et $S(1\,;-1)$, le vecteur $\overrightarrow{RS}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$ est non nul. Une équation de $(RS)$ est donc

\begin{aligned} -2(x+3)-4(y-1)&=0\\ -2x-4y-2&=0\\ x+2y+1&=0. \end{aligned}

La dernière équation résulte de la division par $-2$, nombre non nul.

Comprendre pourquoi — Construire une équation cartésienne avec un déterminant

Soit une droite $d$, passant par $A(x_A\,;y_A)$ et de vecteur directeur $\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}$ non nul. Le point $A$ et le vecteur directeur sont fixés ; les coordonnées $x,y$ du point $M$ sont variables. Nous cherchons une égalité qui exprime exactement l’appartenance de $M$ à $d$.

Pour tout point $M$, y compris $M=A$, la propriété « un point et une direction », puis le critère du déterminant donnent

\begin{aligned} M(x\,;y)\in d &\Longleftrightarrow \det\left(\begin{pmatrix}x-x_A\\y-y_A\end{pmatrix}\,;\begin{pmatrix}r\\s\end{pmatrix}\right)=0\\ &\Longleftrightarrow s(x-x_A)-r(y-y_A)=0\\ &\Longleftrightarrow sx-ry+ry_A-sx_A=0. \end{aligned}

On obtient la forme annoncée avec $a=s$, $b=-r$ et $c=ry_A-sx_A$. Puisque le vecteur directeur est non nul, $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls.

Pente et équation réduite

Une droite non verticale a une unique forme $y=mx+p$ : $m$ est la pente, $p$ l’ordonnée à l’origine ; un directeur est $\binom1m$. Pour $ax+by+c=0$ avec $b\ne0$, $m=-\frac{a}{b}$ et $p=-\frac{c}{b}$.

m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\quad(x_A\ne x_B),\qquad y-y_A=m(x-x_A).

Ces formules donnent une droite par deux points d’abscisses distinctes, ou par un point et une pente. Si deux points distincts ont même abscisse $k$, la droite est verticale : $x=k$, sans pente. Une horizontale a pour équation $y=h$ et pente $0$.

La pente est le quotient de l’accroissement vertical par l’accroissement horizontal.

Tracer

Calculer deux points distincts qui vérifient l’équation, les placer puis prolonger la droite de chaque côté. Pour une verticale, tous les points ont la même abscisse.

La droite oblique est tracée par ses deux intersections avec les axes ; $e$ est verticale.

Parallélisme et intersection

Pour $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, avec leurs deux couples de coefficients non nuls, les droites sont parallèles si $ab'-a'b=0$, sécantes sinon.

Pour $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$ : si $m=m'$, elles sont confondues lorsque $p=p'$, strictement parallèles sinon. Si $m\ne m'$, l’intersection est unique :

x=\frac{p'-p}{m-m'},\qquad y=mx+p.

Vérifier les coordonnées dans les deux équations. Une lecture graphique peut être approchée.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les pentes distinguent trois positions de droites

Pour les deux droites non verticales $d:y=mx+p$ et $e:y=m'x+p'$, un point commun doit avoir la même ordonnée dans les deux équations :

mx+p=m'x+p'\quad\Longleftrightarrow\quad(m-m')x=p'-p.

Si $m=m'$ et $p=p'$, tous les points des deux droites coïncident. Si $m=m'$ et $p\ne p'$, l’égalité est impossible : elles sont strictement parallèles.

Si $m\ne m'$, l’égalité donne une unique abscisse. Remplacer cette valeur dans une équation donne une unique ordonnée : les droites sont sécantes.