Fonctions : langage, représentations et résolution graphique : cours de maths · Seconde

Fonction, images et domaine

Une fonction $f$ définie sur $D$ associe à chaque $x\in D$ une unique image $f(x)$. Si $f(x)=y$, $x$ est un antécédent de $y$. Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.

Le domaine fait partie de la donnée : exclure les zéros d’un dénominateur et exiger un nombre positif ou nul sous une racine carrée. Une expression faite seulement d’additions, de soustractions et de multiplications de réels est définie sur tous les réels.

Expression, programme de calcul, tableau et courbe décrivent une même fonction. Chaque entrée d’un tableau donne un couple $(x;f(x))$ ; un tableau fini ne permet pas d’affirmer que tous les antécédents ont été trouvés.

Voir un exemple — Croiser les contraintes d’un domaine

Croiser les contraintes d'un domaine

Pour $q(x)=\frac{\sqrt{7-x}}{x-2}$, il faut $7-x\geqslant0$ et $x-2\ne0$. Le domaine est donc $]-\infty;2[\,\cup\,]2;7]$. La borne $7$ convient car $\sqrt0$ existe ; $2$ reste interdit à cause du dénominateur, même si le radicande y est positif.

Lire une courbe

\mathcal C_f=\{(x;f(x))\mid x\in D\},\qquad y=f(x).

Les entrées se lisent sur l’axe des abscisses, les images sur celui des ordonnées. Pour une image, rejoindre la courbe verticalement ; pour des antécédents, chercher tous ses points à la hauteur donnée puis lire leurs abscisses.

Sur l’exemple $f(x)=(x-1)^2-1$, défini sur $D=[-1;3]$, $f(1)=-1$, et $0$ a pour antécédents $0$ et $2$.

$f(x)=(x-1)^2-1$ sur $[-1\,;3]$. Les extrémités sont incluses.

Une lecture graphique est généralement approchée. Relier arbitrairement les points d’un tableau ne donne pas nécessairement la courbe exacte.

Résoudre graphiquement

$f(x)=k$ : lire les abscisses des intersections avec la droite $y=k$. $f(x)<k$ : lire celles où la courbe est au-dessous. Pour $\leq$, ajouter les points d’égalité autorisés.

$f(x)=g(x)$ : lire les abscisses des points communs. $f(x)<g(x)$ : lire les abscisses où la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$. Ne comparer que sur l’intersection de leurs domaines.

La figure compare $f(x)=(x-1)^2-1$ et $g(x)=2-x$ sur le domaine commun $[-1;3]$.

Les deux courbes sont comparées sur le même domaine, bornes incluses.

Exprimer les solutions par des intervalles ou des valeurs isolées. Respecter les inégalités strictes, les bornes du domaine et la précision du tracé.

Voir un exemple — Contrôler une lecture graphique par le calcul

Une lecture approchée à contrôler

Pour $f(x)=(x-1)^2-1$ sur $[-1\,;3]$, la droite $y=1$ rencontre la courbe à des abscisses proches de $-0{,}4$ et $2{,}4$.

Le calcul donne les valeurs exactes :

f(x)=1\iff(x-1)^2=2

\iff x=1-\sqrt2\ \text{ou}\ x=1+\sqrt2.

Ces deux nombres appartiennent au domaine. À $0{,}01$ près, ils valent $-0{,}41$ et $2{,}41$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi comparer les courbes à la même abscisse

À l’abscisse $x$, les deux points ont pour ordonnées $f(x)$ et $g(x)$. L’égalité des ordonnées équivaut à la coïncidence des points. Leur ordre vertical est exactement l’ordre entre les deux images. Il faut comparer les points de même abscisse, et non deux points quelconques des courbes.