Fonctions de référence et signes : cours de maths · Seconde

Fonctions affines

$f(x)=mx+p$ est définie sur $\mathbb R$. Sa courbe est une droite ; $m$ est la pente et $p=f(0)$ l’ordonnée à l’origine. Si $p=0$, elle est linéaire ; si $m=0$, elle est constante.

Si $m\ne0$, son zéro est $r=-\frac{p}{m}$ ; avant $r$, le signe est opposé à celui de $m$, après $r$, identique. $f(x)=k$ donne $x=\frac{k-p}{m}$ ; pour $f(x)<k$, diviser par $m$ en inversant le sens si $m<0$.

Si $m=0$, comparer la constante $p$ au niveau $k$ : tous les réels conviennent ou aucun. Le signe est celui de $p$.

Voir un exemple — Reconnaître une fonction affine après réduction

Reconnaître la forme utile

L’expression $4(x-2)+3$ se réduit à $4x-5$ : elle définit une fonction affine, avec $m=4$ et $p=-5$.

La fonction $x\mapsto-3x$ est linéaire. La fonction $x\mapsto7$ est constante, donc aussi affine.

Comprendre pourquoi — Lire le signe d’une affine à partir de son zéro

Si $m\ne0$, l’équation $mx+p=0$ équivaut à $mx=-p$, puis à $x=-\frac{p}{m}=r$. Ce zéro est unique. On écrit alors

\begin{aligned} f(x)&=m\left(x+\frac pm\right)\\ &=m(x-r). \end{aligned}

Le facteur $x-r$ est négatif pour $x<r$, nul pour $x=r$ et positif pour $x>r$. La règle des signes du produit donne un signe opposé à celui de $m$ avant $r$, puis le même signe après $r$.

Si $m=0$, l’image est toujours $p$. Elle est strictement positive si $p>0$, strictement négative si $p<0$ et nulle pour tout $x$ si $p=0$.

Valeur absolue

$|x|$ est la distance de $x$ à zéro : $|x|=-x$ si $x<0$, $|x|=x$ si $x\geq0$. Elle est positive ou nulle, et nulle seulement en zéro.

Deux points de la courbe ont pour ordonnée $2$. La courbe ne passe jamais sous l’axe horizontal.

Pour $k>0$, $|x|=k$ donne $x=-k$ ou $x=k$ ; $|x|<k$ donne $]-k;k[$. Pour $k=0$, l’équation a la seule solution $0$ ; pour $k<0$, aucune. L’inéquation stricte n’a aucune solution si $k\leq0$.

Comprendre pourquoi — Lire les solutions comme des distances

$|x|$ est une distance : elle est positive ou nulle, nulle seulement en $0$. Pour $k>0$, les points à distance $k$ sont $-k$ et $k$ ; ceux à distance strictement inférieure sont entre les deux. Une distance ne peut atteindre un niveau négatif ni être strictement sous un niveau non positif.

Carré et racine carrée

Le carré $x^2$ est défini sur $\mathbb R$, positif ou nul, et nul seulement en zéro. Sa courbe est une parabole.

Le carré est non négatif ; les points d’abscisses opposées ont ici la même hauteur.

Pour $k>0$, $x^2=k$ donne $\{-\sqrt k;\sqrt k\}$ ; $x^2<k$ donne $]-\sqrt k;\sqrt k[$. Si $k=0$, l’équation a la seule solution $0$ ; si $k<0$, aucune. L’inéquation stricte n’a aucune solution pour $k\leq0$.

La racine $\sqrt x$ est définie pour $x\geq0$, positive ou nulle, et nulle seulement en zéro. Pour $k\geq0$, $\sqrt x=k$ donne $x=k^2$ ; pour $k>0$, $\sqrt x<k$ donne $[0;k^2[$. Un niveau négatif est impossible ; pour $k=0$, l’inéquation stricte est aussi impossible.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le carré est inférieur à un niveau entre deux bornes

Pour $k>0$ et tout réel $x$, on factorise :

x^2-k=(|x|-\sqrt{k})(|x|+\sqrt{k}).

Le second facteur est strictement positif. Ainsi $x^2<k$ équivaut à $|x|<\sqrt{k}$, soit $-\sqrt{k}<x<\sqrt{k}$. Si $k\leq0$, aucune solution n’est possible puisque $x^2\geq0$.

Fonction inverse

$\frac{1}{x}$ est définie pour $x\ne0$, a le signe de $x$ et n’est jamais nulle. Sa courbe possède deux branches séparées.

Les branches ne sont pas reliées en zéro, où la fonction n’est pas définie.

\frac{1}{x}=k\iff x=\frac{1}{k}\quad(k\ne0).

Pour $k=0$, aucune solution. Pour une inéquation, séparer $x<0$ et $x>0$, ou étudier $\frac{1-kx}{x}$ ; ne pas multiplier par $x$ sans connaître son signe.

Par exemple, $\frac{1}{x}<-\frac12$ donne $]-2;0[$. Les valeurs positives ne conviennent pas ; pour $x<0$, multiplier par $2x$ inverse le sens et donne $x>-2$.

Fonction cube

$x^3$ est défini sur $\mathbb R$, a le signe de $x$ et s’annule seulement en zéro. Pour tout réel $a$ :

x^3=a^3\iff x=a,\qquad x^3<a^3\iff x<a.

Pour comparer à un niveau donné, chercher le réel dont le cube vaut ce niveau.

Signes d’un produit ou quotient

Repérer les zéros des facteurs puis combiner leurs signes sur chaque intervalle. Pour un quotient, exclure aussi les zéros du dénominateur. Un tableau de signes indique où la fonction est positive, nulle ou négative ; il ne décrit pas ses variations.

Pour $Q(x)=\frac{x-2}{x+4}$, $2$ est un zéro, $-4$ une valeur interdite. Ainsi $Q(x)\geq0$ sur $]-\infty;-4[\cup[2;+\infty[$ : inclure $2$, jamais $-4$.

Tableau de signes du quotient x moins deux sur x plus quatre, avec coupure interdite en moins quatre et zéro en deux. — La barre d'interdiction et le zéro du quotient doivent rester distincts.