CoursSeconde
Variations, extrémums et optimisation
Croissance, décroissance et tableau
Sur un intervalle $I$, pour tous $a<b$ de $I$, une fonction croissante vérifie $f(a)\leq f(b)$ ; une fonction décroissante vérifie $f(a)\geq f(b)$. Les variations sont strictes si l’inégalité entre images est stricte. Une fonction monotone est croissante ou décroissante.
Une constante est croissante et décroissante au sens large. Le tableau donne les bornes, les images connues et les sens de variation, avec des flèches. Une flèche ne donne pas toutes les valeurs intermédiaires.
Le signe indique la position par rapport à zéro ; la variation compare les images entre elles. Une lecture graphique dépend de la précision du dessin.
Maximum et minimum
Un maximum $M$ sur $I$ est atteint en $c\in I$ si $f(c)=M$ et $f(x)\leq M$ pour tout $x\in I$. Pour un minimum, remplacer $\leq$ par $\geq$. La valeur extrême est une ordonnée ; l’endroit où elle est atteinte est une abscisse.
Sur un intervalle fermé $[a;b]$, une fonction croissante a minimum $f(a)$ et maximum $f(b)$ ; une décroissante a maximum $f(a)$ et minimum $f(b)$. Si la variation est stricte, les abscisses correspondantes sont uniques. Un extrémum doit être atteint : une borne exclue ne le garantit pas.
Voir un exemple — Une borne exclue peut empêcher un maximum
Une borne exclue peut empêcher un maximum
Pour $f(x)=x$ sur $[0\,;1[$, le minimum est $0$, atteint en $0$. Le nombre $1$ n’est pas un maximum : ce n’est pas une valeur atteinte.
De plus, pour tout $x\in[0\,;1[$, prendre le milieu entre $x$ et la borne exclue $1$ fournit un nombre encore autorisé et plus grand que $x$. On choisit donc
On a $y-x=\frac{(1-x)}{2}>0$ et $y<1$. Ainsi, $y$ appartient encore au domaine et $f(y)>f(x)$ : aucune image n’est la plus grande.
Fonctions affines
Pour $f(x)=mx+p$, $p=f(0)$ et $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$ si $a\ne b$. Si $m>0$, $f$ est strictement croissante ; si $m<0$, strictement décroissante ; si $m=0$, constante.
La pente détermine la variation, pas le signe des images. Une droite peut descendre tout en restant au-dessus de l’axe horizontal.
Comprendre pourquoi — Pourquoi la pente détermine la variation
Pour tous $a<b$, $f(b)-f(a)=m(b-a)$. Le facteur $b-a$ est positif : la différence a le signe de $m$. Elle est positive pour $m>0$, négative pour $m<0$, nulle pour $m=0$. Ce calcul porte sur tous les couples du domaine, pas seulement deux points choisis.
Variations des références
Carré et valeur absolue sont strictement décroissants sur $]-\infty;0]$, strictement croissants sur $[0;+\infty[$. Leur minimum sur $\mathbb R$ est $0$, atteint uniquement en zéro.
L’inverse $\frac{1}{x}$ est strictement décroissant séparément sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$. On ne peut pas lui appliquer ce sens de variation à deux nombres de signes contraires.
Une fonction croissante conserve l’ordre de deux entrées de son intervalle ; une décroissante l’inverse. Si les entrées ne sont pas dans un même intervalle de monotonie, comparer leurs images par un calcul ou un graphique.
Comprendre pourquoi — Pourquoi l’inverse décroît sur chaque intervalle
Prenons $a<b$ dans un même intervalle $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$. Les deux nombres sont non nuls et de même signe, donc $ab>0$.
Ainsi $\frac1b<\frac1a$ : l’inverse est strictement décroissant sur chacun de ces intervalles. La condition de même signe est nécessaire à ce raisonnement.
Comparer un positif et son carré
Pour $0\leq x\leq1$, $x^2\leq x$. Pour $x\geq1$, $x^2\geq x$. L’égalité a lieu seulement pour $x=0$ ou $x=1$.
Comprendre pourquoi — Comparer x et son carré en factorisant la différence
Pour comparer les deux ordonnées à la même abscisse $x\geq0$, on étudie leur différence :
Si $0<x<1$, le facteur $x$ est positif et $x-1$ négatif. Donc $x^2-x<0$ : la parabole est strictement au-dessous de la droite.
Si $x>1$, les deux facteurs sont positifs. Donc $x^2-x>0$ : la parabole est strictement au-dessus de la droite.
Enfin, $x(x-1)=0$ exactement pour $x=0$ ou $x=1$. Les deux courbes s’y rencontrent. Ces trois cas couvrent tout $[0\,;+\infty[$.