Proportions, pourcentages et évolutions : cours de maths · Seconde

Proportion et référence

Dans une population d’effectif $N>0$, une partie d’effectif $n$ a pour proportion $p=\frac{n}{N}$ et pour pourcentage $100p\,\%$. Une fréquence est une proportion observée. $0\leq p\leq1$.

n=pN,\qquad N=\frac{n}{p}\quad(p>0).

Toujours nommer la partie et le tout. Pour passer du pourcentage à la proportion décimale, diviser le nombre du pourcentage par cent.

Pourcentage de pourcentage

Si $B\subseteq A\subseteq E$, avec $A,E$ non vides, et si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$, $q$ celle de $B$ dans $A$, la proportion de $B$ dans $E$ vaut $pq$.

$B$ est une partie de $A$, lui-même partie de $E$. Les aires sont symboliques.

La seconde proportion doit porter sur la population déjà sélectionnée. Le mot « parmi » indique cette référence.

Comprendre pourquoi — Pourquoi deux proportions emboîtées se multiplient

Pour $B\subseteq A\subseteq E$, notons $n_E>0$, $n_A>0$ et $n_B$ les effectifs. Alors :

\frac{n_A}{n_E}\times\frac{n_B}{n_A}=\frac{n_B}{n_E}.

Le facteur $n_A$ se simplifie parce qu’il est non nul. On retrouve la proportion de $B$ dans la population totale $E$.

Mesurer une évolution

Pour deux valeurs $V_1,V_2$ exprimées dans la même unité, la variation absolue est $V_2-V_1$. Si $V_1\ne0$ :

\mathrm{CM}=\frac{V_2}{V_1},\qquad t=\frac{V_2-V_1}{V_1}=\mathrm{CM}-1,\qquad V_2=(1+t)V_1.

Le taux $t$ est écrit sous forme décimale. Une hausse de $12\,\%$ donne $\mathrm{CM}=1{,}12$ ; une baisse de $15\,\%$ donne $0{,}85$. Pour $V_1>0$, le signe du taux indique hausse ou baisse ; pour $V_1<0$, il est opposé au signe de la variation absolue. Si $V_1=0$, les quotients ne sont pas définis.

Le taux et le coefficient sont sans unité. Si $\mathrm{CM}\ne0$, $V_1=\frac{V_2}{\mathrm{CM}}$. Un pourcentage de proportion décrit une partie ; un taux décrit un changement.

Voir un exemple — Distinguer pourcentage et points de pourcentage

Pourcentage et points de pourcentage

La part d'inscriptions en ligne passe de $30\,\%$ à $36\,\%$. La différence est de 6 points de pourcentage. La hausse relative de cette part est :

t=\frac{36-30}{30}=0{,}20=20\,\%.

Dire « hausse de $6\,\%$ » ne décrit donc pas cette même évolution.

Évolutions successives et retour

Pour des évolutions successives dont toutes les valeurs de départ sont non nulles, multiplier les coefficients ; ne pas additionner les taux.

\mathrm{CM}_{\mathrm{global}}=(1+t_1)(1+t_2),\qquad t_{\mathrm{global}}=\mathrm{CM}_{\mathrm{global}}-1.

Ainsi $+12\,\%$ puis $-15\,\%$ donne $1{,}12\times0{,}85=0{,}952$, soit $-4{,}8\,\%$.

Pour revenir de $V_2$ à $V_1$, avec $V_1,V_2\ne0$, le coefficient réciproque est $\frac{1}{\mathrm{CM}}$ et le taux $\frac{1}{\mathrm{CM}}-1$. Les taux ne sont pas forcément opposés. Une baisse de $100\,\%$ donne zéro et n’a pas de coefficient réciproque.

Comprendre pourquoi — Pourquoi les taux successifs ne s’additionnent pas

Pour trois valeurs successives $V_1,V_2,V_3$, avec $V_1,V_2\ne0$, les taux $t_1,t_2$ donnent $V_2=(1+t_1)V_1$ et $V_3=(1+t_2)V_2$. En remplaçant $V_2$ :

V_3=(1+t_2)(1+t_1)V_1,\qquad t_{\mathrm{global}}=(1+t_1)(1+t_2)-1=t_1+t_2+t_1t_2.

Le terme $t_1t_2$ explique pourquoi additionner simplement les taux donne en général un résultat faux.