Statistique descriptive à une variable : cours de maths · Seconde

Données, effectifs et fréquences

Une population est formée d’individus ; la variable est l’information relevée. Elle est qualitative si elle décrit une catégorie, quantitative si elle donne un nombre. Une variable quantitative est discrète pour des valeurs séparées, continue pour une grandeur pouvant prendre les valeurs d’un intervalle.

L’effectif est un nombre d’observations ; la fréquence d’un groupe d’effectif $n$ dans une série d’effectif $N>0$ est $\frac{n}{N}$. Les effectifs cumulés croissants comptent les valeurs inférieures ou égales à une valeur donnée.

Médiane, quartiles et dispersion

Ordonner une série non vide en conservant les répétitions. Si $N$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$ ; si $N$ est pair, on choisit la moyenne des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.

$Q_1$ est la plus petite valeur avec au moins $25\,\%$ des observations en dessous ou égales ; $Q_3$ avec au moins $75\,\%$. Leurs rangs sont $\frac N4$ et $\frac{3N}{4}$ arrondis à l’entier supérieur. L’écart interquartile est $Q_3-Q_1$ ; l’étendue est maximum moins minimum.

Dans une boîte à moustaches, la boîte va de Q₁ à Q₃, le trait marque la médiane, les moustaches indiquent ici minimum et maximum. Comparer position centrale et dispersion ensemble.

Moyenne et écart type

Les valeurs observées $x_i$ ont des effectifs $n_i>0$ ; $N=\sum_i n_i>0$. La moyenne et l’écart type sont :

\overline x=\frac{\sum_i n_i x_i}{N},\qquad \sigma=\sqrt{\frac{\sum_i n_i(x_i-\overline x)^2}{N}}.

L’écart type mesure la dispersion autour de la moyenne, dans la même unité que les valeurs. Il est positif ou nul, et vaut zéro exactement si toutes les observations sont égales. Utiliser le diviseur N, pas N−1. Pour comparer deux séries, associer moyenne et écart type, ou médiane et écart interquartile.

Voir un exemple — Calculer moyenne et écart type sur huit durées

Les huit durées, en minutes, sont $8;9;9;10;10;11;11;12$. Leur somme vaut $80$, donc :

\overline x=\frac{80}{8}=10.

On pondère les carrés des écarts par les effectifs :

\sigma^2=\frac{(8-10)^2+2(9-10)^2+2(10-10)^2+2(11-10)^2+(12-10)^2}{8}=1{,}5.

Ainsi $\sigma=\sqrt{1{,}5}\approx1{,}22$ minute, arrondi au centième.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un écart type nul signifie des observations égales

Chaque carré est positif ou nul. Leur moyenne, puis sa racine carrée, le sont aussi.

Si toutes les observations valent $c$, leur moyenne est $c$ et tous les écarts sont nuls. L'écart type est donc nul.

Réciproquement, si $\sigma=0$, la somme pondérée des carrés est nulle. Une somme de termes positifs ou nuls ne peut être nulle que si chacun l'est. Comme chaque effectif des valeurs observées est strictement positif, chaque carré $(x_i-\overline{x})^2$ est nul. Toutes les observations sont donc égales à leur moyenne.

Transformer, ajouter ou retirer

Si toutes les observations deviennent $ax+b$ avec mêmes effectifs, la moyenne devient $a\overline x+b$.

\overline x_{\mathrm{ajout}}=\frac{N\overline x+v}{N+1}\quad(N>0),\qquad \overline x_{\mathrm{retrait}}=\frac{N\overline x-v}{N-1}\quad(N>1).

Ici, $v$ est la valeur ajoutée, ou celle d’une observation effectivement retirée de la série. Ajouter une valeur au-dessus de la moyenne l’augmente ; retirer cette valeur la diminue. Au-dessous, les effets s’inversent ; une valeur égale à la moyenne ne la change pas. La médiane dépend des nouvelles positions centrales : il faut réordonner la série.

Classes et graphiques

Des classes sont des intervalles disjoints, ici de même amplitude. Dans l’histogramme, les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ; à largeurs égales, on peut utiliser les effectifs comme hauteurs.

Histogramme des vingt délais : les rectangles ont une largeur commune de $10$ minutes et les hauteurs $4$, $8$, $6$ et $2$.

Le polygone des fréquences cumulées relie les bornes supérieures des classes à leurs fréquences cumulées ; il commence à la borne inférieure de la première classe, avec fréquence zéro. Les segments servent à estimer entre les bornes.

Les points aux bornes représentent des cumulés exacts. Les segments entre deux bornes servent à une estimation par interpolation.

Lire les axes et unités : les barres comparent des catégories, les secteurs des proportions, une courbe des relevés ordonnés, un nuage des couples de valeurs. Relier des relevés ne révèle pas ce qui s’est passé entre eux.

Moyenne et médiane à partir des classes

Pour des groupes disjoints non vides de moyennes $m_i$ et d’effectifs $n_i$, la moyenne globale est $\frac{\sum_i n_i m_i}{\sum_i n_i}$. Si les moyennes de classe sont inconnues, une répartition supposée uniforme permet de les remplacer par les centres $\frac{a+b}{2}$ : le résultat est une estimation.

Les effectifs cumulés repèrent la classe contenant le ou les rangs centraux ; ils ne donnent pas généralement la médiane exacte. Si les deux rangs centraux encadrent une frontière, ne pas imposer une classe unique.

Dans une classe $[a;b[$ d’amplitude $h=b-a>0$, de fréquence $q>0$, avec fréquence cumulée précédente $F$, si $F\leq0{,}5\leq F+q$ et si la répartition est supposée uniforme, la médiane estimée est :

\widehat{\mathrm{Me}}=a+h\,\frac{0{,}5-F}{q}.

Cette interpolation peut donner une frontière lorsque le cumul y atteint 50 % ; elle reste une estimation des valeurs inconnues.

Voir un exemple — Estimer une moyenne à partir des centres de classes

Ne pas confondre centre et moyenne observée

Vingt délais, exprimés en minutes, ont été regroupés dans les classes suivantes. On connaît seulement les classes et leurs effectifs.

Classe (minutes)	$[0\,;10[$	$[10\,;20[$	$[20\,;30[$	$[30\,;40[$
Centre (minutes)	5	15	25	35
Effectif	4	8	6	2

Sous l’hypothèse d’une répartition uniforme dans chaque classe, on utilise les centres pour estimer la moyenne :

\overline{x}\approx\frac{4\times5+8\times15+6\times25+2\times35}{20}=18.

On estime le délai moyen à $18$ minutes. Les durées individuelles et les moyennes exactes des classes sont inconnues : les seules classes et leurs effectifs ne permettent pas de déterminer la moyenne exacte.

Faire la moyenne simple des quatre centres donnerait $20$ : ce calcul oublierait que les classes n'ont pas toutes le même effectif.

Comprendre pourquoi — Pourquoi interpoler le cumul à 50 pour cent

Dans une classe $[a;b[$ de largeur $h=b-a>0$ et de fréquence $q>0$, notons $F$ le cumul précédent. Supposons $F\leq0{,}5\leq F+q$ et une répartition uniforme.

Parcourir une fraction $u$ de la largeur apporte la fréquence $uq$. On cherche donc :

F+uq=0{,}5\quad\Longrightarrow\quad u=\frac{0{,}5-F}{q},\qquad 0\leq u\leq1.

Ajouter $uh$ à $a$ donne l’estimation de la médiane. Cela ne détermine pas la médiane exacte des valeurs individuelles inconnues.