Données croisées et fréquences conditionnelles : cours de maths · Seconde

Variables et tableau croisé

Une variable qualitative décrit des catégories : nominales sans ordre naturel, ordinales avec un ordre. Coder une catégorie par un nombre ne la transforme pas en mesure. Une unité statistique est l’individu observé.

Un tableau croisé rassemble deux variables de la même population. Chaque case compte les individus présentant à la fois sa modalité de ligne et sa modalité de colonne. Les marges sont les totaux des lignes et colonnes ; leurs sommes donnent le même total N.

Choisir le bon dénominateur

Pour $N>0$, avec $n_A$ individus dans $A$ et $n_{AB}$ dans $A\cap B$ :

f(A)=\frac{n_A}{N},\qquad f(A\cap B)=\frac{n_{AB}}{N},\qquad f_A(B)=\frac{n_{AB}}{n_A}\quad(n_A>0).

Une fréquence marginale utilise le total ; une conditionnelle utilise la sous-population indiquée par « parmi ». Toutes sont entre zéro et un. Pour des modalités disjointes et exhaustives, les fréquences somment à un, dans leur population de référence non vide.

Exemple reçu : sur $344$ manchots, $152$ sont Adelie ($A$), dont $56$ sur Dream ($D$) ; Dream compte $124$ individus. Dream parmi Adelie vaut $f_A(D)=\frac{56}{152}$ ; Adelie parmi Dream vaut $f_D(A)=\frac{56}{124}$. Les dénominateurs changent.

Dream parmi Adelie à gauche ; Adelie parmi Dream à droite.

Compléter et relier aux probabilités

Si une fréquence conditionnelle exacte est donnée, $n_{AB}=f_A(B)n_A$. Retrouver les cases manquantes par différences avec les marges, puis contrôler les totaux. Un pourcentage arrondi peut ne pas déterminer un effectif entier exact.

Si l’on choisit uniformément un individu, la probabilité d’être dans $A$ vaut $\frac{n_A}{N}$ et, pour $n_A>0$, celle d’être dans $B$ sachant $A$ vaut $f_A(B)$. Sans choix uniforme, cette identification n’est pas automatique.

Voir un exemple — Compléter les cases avec une fréquence conditionnelle exacte

Compléter un tableau croisé

Parmi $150$ lecteurs, $60$ préfèrent le numérique et $90$ le papier ; $90$ sont réguliers. Le pourcentage exact de $70\,\%$ de réguliers parmi les adeptes du numérique donne $0{,}70\times60=42$ réguliers numériques.

Par différences avec les marges : $18$ occasionnels numériques, $48$ réguliers papier, $42$ occasionnels papier. Les lignes réguliers/occasionnels sont donc $(42,48,90)$ et $(18,42,60)$ ; les colonnes totalisent $(60,90,150)$. Parmi les $90$ réguliers, la fréquence du numérique vaut $\frac{42}{90}=\frac{7}{15}\approx46{,}67\,\%$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi un choix uniforme retrouve la fréquence conditionnelle

Dans une population d’effectif $N>0$, le choix uniforme attribue $\frac1N$ à chaque individu. Avec $n_A>0$ individus dans $A$ et $n_{AB}$ dans $A\cap B$ :

\mathbb P(A)=\frac{n_A}{N},\qquad\mathbb P(A\cap B)=\frac{n_{AB}}{N},\qquad\mathbb P_A(B)=\frac{\frac{n_{AB}}{N}}{\frac{n_A}{N}}=\frac{n_{AB}}{n_A}.

Le dernier quotient est la fréquence de $B$ parmi $A$. Cette identification utilise le choix uniforme.