Probabilités : modèles, événements et conditionnement : cours de maths · Seconde

Issues et événements

L’univers $\Omega$ est l’ensemble fini non vide des issues possibles. Un événement $A$ est une partie de $\Omega$ ; une issue $\omega$ le réalise si $\omega\in A$. $\operatorname{Card}(A)$ est son nombre d’issues.

$A\cap B$ signifie « A et B », $A\cup B$ signifie « A ou B, éventuellement les deux », $\overline A=\Omega\setminus A$ est l’événement contraire. $\varnothing$ est l’événement impossible.

Deux ensembles A et B dans l’univers Oméga. La bande commune aux deux rectangles est leur intersection ; leur réunion contient les deux rectangles. — La bande commune représente $A\cap B$ ; les deux rectangles réunis représentent $A\cup B$.

Un couple est ordonné. $S\times T$ contient les couples $(s;t)$ avec $s\in S,t\in T$ ; s’ils sont finis, son cardinal vaut $\operatorname{Card}(S)\operatorname{Card}(T)$.

Calculer une probabilité

Une loi attribue aux issues des probabilités $p_i\geq0$ de somme $1$. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités de ses issues.

\mathbb P(\Omega)=1,\quad \mathbb P(\varnothing)=0,\quad0\leq\mathbb P(A)\leq1,\quad\mathbb P(\overline A)=1-\mathbb P(A).

L’équiprobabilité est une hypothèse : toutes les issues ont la même probabilité. Elle seule permet, ici, de compter les issues favorables sur les issues possibles :

\mathbb P(A)=\frac{\operatorname{Card}(A)}{\operatorname{Card}(\Omega)}.

Attention : le contraire de « aucun » est « au moins un ».

Voir un exemple — Additionner les probabilités d’une loi non uniforme

Une loi non uniforme

Issue	$a$	$b$	$c$	$d$
Probabilité	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$

Les probabilités sont positives et leur somme vaut 1. Pour $B=\{b;d\}$, $\mathbb P(B)=0{,}2+0{,}4=0{,}6$. Le quotient $\frac24$ ne convient pas : les quatre issues ne sont pas équiprobables.

Probabilité conditionnelle

Pour $\mathbb P(A)>0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :

\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)},\qquad \mathbb P_A(\overline B)=1-\mathbb P_A(B).

« Sachant A » restreint la référence à A ; ce n’est pas forcément une cause. Si $\mathbb P(A)=0$, le quotient n’est pas défini. Dans un univers fini équiprobable avec $A$ non vide, $\mathbb P_A(B)=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}$.

Exemple : choisir uniformément parmi $80$ commandes ; $30$ sont en casier ($A$), $40$ traitées le même jour ($B$), $18$ les deux. Alors $\mathbb P_A(B)=\frac{18}{30}$ et $\mathbb P_B(A)=\frac{18}{40}$. Inverser la condition change le dénominateur.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le conditionnement change l’effectif de référence

Dans un univers fini équiprobable de $N>0$ issues, pour $A$ non vide :

\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)}=\frac{\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{N}}{\frac{\operatorname{Card}(A)}{N}}=\frac{\operatorname{Card}(A\cap B)}{\operatorname{Card}(A)}.

Le facteur $N$ se simplifie. La référence devient $A$, dont le cardinal est non nul.

Lire un arbre et un chemin

Lire un arbre de la racine aux extrémités : premier niveau, $\mathbb P(A)$ et $\mathbb P(\overline A)$ ; second niveau, probabilités conditionnées par la branche déjà suivie. Les poids issus d’un même nœud somment à un. Le schéma suppose $0<\mathbb P(A)<1$ pour définir les deux conditionnements.

Arbre de gauche à droite : A de poids P(A), puis B de poids P_A(B) ou son contraire de poids P_A(B contraire) ; A contraire de poids P(A contraire), puis B de poids P_A contraire(B) ou B contraire de poids P_A contraire(B contraire). — Les deux branches portant $B$ n’ont pas le même conditionnement.

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)\quad(\mathbb P(A)>0).

Multiplier les poids du chemin A puis B donne $\mathbb P(A\cap B)$, pas $\mathbb P(B)$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier les poids d’un chemin

Par définition, $\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)}$. Multiplier les deux membres par $\mathbb P(A)>0$ donne :

\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)=\mathbb P(A\cap B).

Le produit utilise bien la probabilité du premier événement puis la probabilité du second sachant le premier.