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Simulation et fluctuation d’échantillonnage
Échantillon et fréquence
Un échantillon de taille $n\geq1$ rassemble les résultats de $n$ répétitions d’une même expérience. Ici, elles gardent les mêmes probabilités et sont supposées indépendantes : les résultats précédents ne changent pas les probabilités des suivants.
La fréquence f se calcule avec le nombre k de succès observés. La probabilité p appartient au modèle ; elle ne change pas avec l’échantillon. Les fréquences peuvent varier d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage.
Comprendre pourquoi — Pourquoi une fréquence est comprise entre zéro et un
Le nombre de succès vérifie $0\leqslant k\leqslant n$. Diviser par $n>0$ conserve les inégalités et donne $0\leqslant \frac{k}{n}\leqslant1$, donc les bornes de $f$.
Loi des grands nombres : lecture qualitative
Pour des répétitions identiques et indépendantes, lorsque la taille est grande, la fréquence observée est en général proche de la probabilité, avec des exceptions possibles.
Cela ne garantit ni une égalité exacte, ni un rapprochement à chaque nouveau tirage. Les grands échantillons donnent en général des fréquences moins dispersées ; une seule réalisation ne démontre pas la loi.
Sur la figure reçue, la droite repère $p=0{,}3$ ; la courbe donne la fréquence après chaque nombre de tirages indiqué en abscisse.
Voir un exemple — Une fréquence peut s’éloigner au tirage suivant
Pour des répétitions identiques et indépendantes, avec probabilité de succès $p=0{,}3$, les dix premiers tirages de la réalisation reçue donnent deux succès et le onzième est un échec.
La fréquence s’éloigne donc de $0{,}3$ à ce pas. Cela ne contredit pas la loi qualitative des grands nombres.