CoursPremière spécialité maths
Suites arithmétiques
Reconnaître une suite arithmétique
Une suite $(u_n)_{n\geqslant p_0}$ est arithmétique de raison $r\in\mathbb R$ lorsque, pour tout entier $n\geqslant p_0$,
La différence entre deux termes consécutifs doit être constante à tous les rangs. Quelques différences égales ne suffisent pas à le prouver.
Calculer un terme
Pour tous indices $p,n$ d’une suite arithmétique de raison $r$,
En particulier : $u_n=u_0+nr$ si le premier rang est $0$ ; $u_n=u_1+(n-1)r$ s’il est $1$. Le nombre de pas est $n-p$. Les points de la suite sont sur une droite : une suite de la forme $u_n=A+rn$ est arithmétique de raison $r$.
Voir un exemple — Calculer les termes quand le premier rang est 1
Une suite qui commence au rang 1
La suite de premier terme $u_1=14$ et de raison $r=-3$ vérifie, pour tout entier $n\geqslant1$,
On soustrait donc $3$ à chaque étape :
L’indice initial est $1$ : le premier terme donné est $u_1$, et non $u_0$.
Additionner des termes consécutifs
Pour des indices $p\leqslant q$, les deux bornes sont incluses : la somme $\sum_{k=p}^{q}u_k$ contient $N=q-p+1$ termes.
La somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes.
Voir un exemple — Somme des cinq premiers entiers
Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier par la moyenne des extrêmes ?
Pour une suite arithmétique de raison $r$, on additionne les termes de $u_p$ à $u_q$, avec des indices entiers $p\leqslant q$ dans son domaine. Posons $N=q-p+1$ et $S=u_p+\cdots+u_q$.
Additionner la somme écrite dans les deux sens donne $N$ paires de cette valeur. Ainsi
Sens de variation
- $r>0$ : suite strictement croissante.
- $r<0$ : suite strictement décroissante.
- $r=0$ : suite constante.
Le signe des termes ne détermine pas le sens de variation : c’est le signe de la raison qui compte.