Suites géométriques : cours de maths · Première spécialité

Définition et terme général

Une suite $(u_n)_{n\geqslant p_0}$ est géométrique de raison $q\in\mathbb R$ si $u_{n+1}=qu_n$ à tout rang. Si les termes sont non nuls, le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant et vaut $q$. En présence d’un terme nul, revenir à la relation sans diviser.

Pour $q\ne0$ et tous indices $p,n$ :

u_n=u_pq^{n-p}.

Pour $q=0$, conserver le terme initial donné : tous les suivants valent $0$. Si le terme initial est nul, la suite entière est nulle, quelle que soit la raison.

Voir un exemple — Multiplier par une raison à partir du rang 1

Une suite qui commence au rang 1

Avec $u_1=27$ et $q=\frac{2}{3}$, chaque étape multiplie le terme précédent par $\frac{2}{3}$ :

u_2=18,\qquad u_3=12,\qquad u_4=8.

On multiplie toujours par la même quantité ; les différences $18-27=-9$ et $12-18=-6$ ne sont pas constantes.

Taux constant et exponentielle

Pour des valeurs strictement positives et un taux décimal constant $t>-1$, le facteur multiplicatif est $q=1+t>0$ ; réciproquement, $t=q-1$.

Le lien mathématique avec l’exponentielle se lit aux rangs entiers : $(\mathrm e^a)^n=\mathrm e^{an}$ pour $a\in\mathbb R$. Une suite décrit uniquement ces rangs entiers.

Sommes géométriques

Pour des indices $p\leqslant m$, poser $N=m-p+1$.

\sum_{k=p}^{m}u_k=u_p\frac{1-q^N}{1-q}\quad(q\ne1),\qquad \sum_{k=p}^{m}u_k=Nu_p\quad(q=1).

1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\ne1,\ n\geqslant1).

Si $q=1$, la dernière somme vaut $n+1$ ; pour $n=0$, elle vaut simplement $1$. Les formules avec un dénominateur $1-q$ ne s’utilisent pas lorsque $q=1$.

Variations

Supposons le premier terme $u_{p_0}$ non nul. Pour $q>0$, les termes gardent son signe et $u_{n+1}-u_n=(q-1)u_n$.

Si $u_{p_0}>0$ : croissance stricte pour $q>1$, décroissance stricte pour $0<q<1$.
Si $u_{p_0}<0$, les deux sens sont inversés.
Si $q=1$ ou si le premier terme est nul, la suite est constante.
Si $q=0$, la suite est décroissante au sens large pour un premier terme positif, croissante au sens large pour un premier terme négatif, puis constante nulle.
Si $q<0$ et le premier terme est non nul, les signes alternent : la suite n’est pas monotone.

Voir un exemple — Une raison supérieure à 1 avec des termes négatifs

La suite $a_n=-4\times1{,}5^n$, pour $n\geqslant0$, a pour premiers termes $-4,-6,-9$. Sa raison dépasse $1$, mais son premier terme est négatif : elle est strictement décroissante.

Comportements à reconnaître

Pour un premier terme non nul :

$-1<q<1$ : les termes tendent vers $0$, même si leur signe alterne.
$q=1$ : ils restent égaux au premier terme.
$q>1$ : limite $+\infty$ si le premier terme est positif, $-\infty$ s’il est négatif.
$q=-1$ : alternance entre deux valeurs opposées, sans limite.
$q<-1$ : valeurs absolues sans borne et signes alternés, sans limite même infinie.

Si le premier terme est nul, la suite est nulle et sa limite vaut $0$. Ces comportements sont lus intuitivement.

Sur la figure, $b_n=8\left(-\frac12\right)^n$ tend vers $0$ en alternant les signes ; $d_n=3(-1)^n$ alterne entre $3$ et $-3$, sans limite.

Comparaison sur les mêmes axes : $b_n=8(-\frac{1}{2})^n$ en points pleins se rapproche de zéro ; $d_n=3(-1)^n$ en points creux reste à distance 3. Rangs 0 à 8, sans segments entre les termes.