Second degré I : formes, racines et lecture du trinôme

Trois formes d’un trinôme

Un trinôme est une fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a,b,c$ sont réels et $a\ne0$. Sa courbe est une parabole.

• Forme développée : $ax^2+bx+c$ ; elle donne les coefficients et $f(0)=c$.
• Forme factorisée, lorsqu’elle existe : $a(x-r)(x-s)$ ; elle montre les racines.
• Forme canonique : $a(x-\alpha)^2+\beta$ ; elle montre le sommet et l’extrémum.

Racines et factorisation

Une racine réelle $r$ vérifie $f(r)=0$ : c’est une abscisse d’intersection avec l’axe des abscisses. Dans $a(x-r)(x-s)$, les racines sont $r$ et $s$ ; si elles sont égales, la racine est double.

Ces relations comptent une racine double deux fois. Réciproquement, deux réels satisfaisant ces relations donnent $f(x)=a(x-r)(x-s)$.

Pour deux racines distinctes données, tous les trinômes sont $a(x-r)(x-s)$ avec $a\ne0$ ; les racines seules ne fixent pas $a$. Chercher d’abord un facteur commun ou une identité remarquable ; sinon utiliser les racines ou les formules du discriminant de C05.

Pour étudier le signe d’une forme factorisée, ranger les racines puis combiner les signes des facteurs et celui de $a$. Pour le trinôme de l’exemple, le signe est négatif sur $]1\,;5[$, nul en $1$ et $5$, positif ailleurs.

Forme canonique, sommet et variations

Tout trinôme admet une forme $a(x-\alpha)^2+\beta$. Sa parabole a pour sommet $S(\alpha\,;\beta)$ et pour axe la droite $x=\alpha$.

• $a>0$ : décroissance jusqu’à $\alpha$, puis croissance ; minimum $\beta$.
• $a<0$ : croissance jusqu’à $\alpha$, puis décroissance ; maximum $\beta$.

Pour obtenir la forme canonique dans un cas simple, compléter un carré : dans l’exemple, $x^2-6x=(x-3)^2-9$, donc $f(x)=2(x-3)^2-8$. Le minimum est $-8$, atteint en $3$.

Choisir la forme factorisée pour les racines et le signe, la forme canonique pour le sommet et l’extrémum, la forme développée pour les coefficients.