Second degré II : discriminant, équations et signe : cours de maths · Première spécialité

Discriminant et racines

Ramener l’équation à $ax^2+bx+c=0$, avec $a\ne0$, puis calculer $\Delta=b^2-4ac$. Les solutions réelles sont les racines du trinôme.

$\Delta<0$ : aucune solution réelle.
$\Delta=0$ : une racine double $r=-\dfrac{b}{2a}$.
$\Delta>0$ : deux racines distinctes $\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

Ranger les deux racines avant un tableau de signes : leur ordre ne se lit pas automatiquement sur les signes devant $\sqrt\Delta$ si $a<0$. La parabole coupe l’axe des abscisses en zéro, un ou deux points selon ces trois cas.

Voir un exemple — Des solutions exactes

$3x^2-2x-2=0$ donne $\Delta=28$. Les solutions sont $\dfrac{1-\sqrt7}{3}$ et $\dfrac{1+\sqrt7}{3}$.

Ne pas diviser par un facteur susceptible de s’annuler : cela peut faire perdre une solution.

Factorisation et signe

Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$ :

$\Delta>0$, racines rangées $r<s$ : $f(x)=a(x-r)(x-s)$ ; signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe opposé entre elles, zéro en $r$ et $s$.
$\Delta=0$ : $f(x)=a(x-r)^2$ ; zéro en $r$, signe strict de $a$ partout ailleurs.
$\Delta<0$ : signe strict de $a$ pour tout réel ; aucune factorisation en deux facteurs de degré 1 réels.

Trois tableaux de signes généraux, sans valeurs numériques imposées. Delta négatif : signe strict de a partout. Delta nul : zéro isolé en r. Delta positif : zéros en r et s, signe opposé à a entre eux. Les zéros ne sont jamais confondus avec un signe strict.

Voir un exemple — Lire le signe quand le coefficient dominant est négatif

Le signe n’est pas toujours positif à l’extérieur

Pour $q(x)=-2x^2+5x+3$, le discriminant vaut $49$. Les racines, rangées dans l'ordre croissant, sont $-\frac12$ et $3$.

Comme $a=-2<0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles. La parabole est donc au-dessus de l'axe des abscisses entre $-\frac12$ et $3$.

Résoudre une inéquation

Lire le tableau de signes. Pour $f(x)>0$ ou $f(x)<0$, exclure les zéros ; pour $f(x)\geqslant0$ ou $f(x)\leqslant0$, les inclure. Écrire les intervalles ou les points retenus, puis les restreindre au domaine demandé.

Voir un exemple — Une racine double

$F(x)=-(3x-2)^2$ est négatif sauf en $x=\frac23$, où il est nul. Ainsi $F(x)\geqslant0$ a pour ensemble de solutions $\{\frac23\}$ ; $F(x)<0$ a pour solutions tous les réels sauf $\frac23$.