Dérivation I : nombre dérivé et tangente : cours de maths · Première spécialité

Taux de variation et nombre dérivé

Pour $a$ et $a+h$ dans le domaine de $f$, avec $h\ne0$, le taux de variation est

\tau_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}h.

C’est la pente de la sécante entre les points $(a\,;f(a))$ et $(a+h\,;f(a+h))$. Si, quand $h$ se rapproche de $0$ par les pas admissibles, ce taux se rapproche d’un même réel fini, $f$ est dérivable en $a$ et ce réel est $f^\prime(a)$.

f^\prime(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.

La notation de limite est utilisée intuitivement. Une fonction peut ne pas être dérivable : en un point anguleux, les pentes des deux côtés peuvent être différentes.

Voir un exemple — Un taux de variation avec un pas négatif

Un pas peut être négatif

Pour $f(x)=x^2+1$ au point $a=2$, si $h\ne0$,

\begin{aligned}\dfrac{f(2+h)-f(2)}h&=\dfrac{4h+h^2}h\\&=4+h.\end{aligned}

Le point $1{,}5$ correspond à $h=-0{,}5$ : son taux est $3{,}5$. Simplifier par $h$ exige $h\ne0$ dans le quotient initial ; la limite en $0$ est une étape distincte.

Tangente : pente, équation et construction

Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente passe par $A(a\,;f(a))$ et a pour pente $f^\prime(a)$. Son équation est

y=f(a)+f^\prime(a)(x-a).

Pour lire la pente, choisir deux points de cette droite et calculer $\dfrac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}$ dans le même ordre. Pour la construire, partir de $A$ et appliquer ce déplacement.

Voir un exemple — Lire puis écrire une tangente

Par $A(2\,;3)$ et $B(3\,;1)$, la pente vaut $\frac{1-3}{3-2}=-2$. Si $A$ est le point de contact, $f^\prime(2)=-2$ et la tangente a pour équation $y=3-2(x-2)$.

Courbe et tangente T passant par A de coordonnées 2,3 et B de coordonnées 3,1, avec déplacement horizontal 1 et vertical moins 2. — Le quotient du déplacement vertical par l'horizontal donne la pente $-2$.

Si $f^\prime(a)=0$, la tangente est horizontale : $y=f(a)$. Un point de la tangente n’appartient pas forcément à la courbe ; une tangente peut même la traverser.

Approximation linéaire

Si $f$ est dérivable en $a$, pour $h$ suffisamment proche de $0$ avec $a+h$ dans le domaine,

f(a+h)\approx f(a)+f^\prime(a)h.

On remplace localement la courbe par sa tangente. Le signe $\approx$ ne garantit pas à lui seul une précision donnée.

Voir un exemple — Approcher un carré

Pour $f(x)=x^2$, $f(3)=9$ et $f^\prime(3)=6$. Avec $h=0{,}02$, l’approximation donne $9+6\times0{,}02=9{,}12$ ; la valeur exacte est $9{,}1204$, soit un écart de $0{,}0004$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi l’approximation du carré laisse une erreur h² ?

\[(3+h)^2=9+6h+h^2.\]

Au voisinage de $3$, l’approximation linéaire est $9+6h$. La valeur exacte moins cette approximation est donc $h^2\geqslant0$ : l’approximation sous-estime le carré exact, avec égalité pour $h=0$.