CoursPremière spécialité maths
Dérivation II : fonctions dérivées et calcul
Fonction dérivée
$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en chaque point de $I$. Sa fonction dérivée $f^\prime$ associe à $x$ le nombre dérivé $f^\prime(x)$. Pour une abscisse fixée $a$, $f^\prime(a)$ est un nombre : la pente de la tangente, tandis que $f(a)$ est l’ordonnée du point de la courbe.
Fonctions de référence
| Fonction | Dérivée | Où la formule est valable |
|---|---|---|
| $mx+p$ ($m,p$ constants) | $m$ | $\mathbb R$ |
| $x^2$ | $2x$ | $\mathbb R$ |
| $x^3$ | $3x^2$ | $\mathbb R$ |
| $\frac1x$ | $-\frac1{x^2}$ | $x\ne0$ |
| $\sqrt x$ | $\frac1{2\sqrt x}$ | $x>0$ |
| $|x|$ | $-1$ si $x<0$ ; $1$ si $x>0$ | $x\ne0$ |
La racine carrée est définie en $0$ mais n’y est pas dérivable ; la valeur absolue n’est pas dérivable en $0$. Un nombre dérivé, lorsqu’il existe, est un réel fini.
Pour un entier $n\geqslant1$, $(x^n)^\prime=nx^{n-1}$ sur $\mathbb R$ ; pour $n<0$, la même formule vaut seulement pour $x\ne0$. Pour $n=0$, considérer séparément la fonction constante égale à $1$, de dérivée $0$.
Opérations sur les fonctions
Si $u,v$ sont dérivables sur un même intervalle $I$ et $k$ est un réel constant :
Pour l’inverse, supposer $u(x)\ne0$ sur $I$ ; pour le quotient, supposer $v(x)\ne0$ sur $I$. Alors
Déterminer le domaine avant d’appliquer une règle. La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées ; dans le quotient, le dénominateur est $v^2$, pas $(v^\prime)^2$.