Variations, courbes et optimisation

Parité et symétries

Vérifier d’abord que le domaine $D$ est symétrique par rapport à $0$ : si $x\in D$, alors $-x\in D$.

• $f$ est paire si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• $f$ est impaire si $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in D$ : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

La formule seule ne suffit pas : $x^2$ restreinte à $[0\,;2]$ ne définit pas une fonction paire.

Dérivée et variations

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. Étudier le signe de $f^\prime$ en tout point de cet intervalle :

• $f^\prime\geqslant0$ sur $I$ : $f$ est croissante.
• $f^\prime\leqslant0$ sur $I$ : $f$ est décroissante.
• $f^\prime=0$ partout sur $I$ si et seulement si $f$ est constante.

Un signe strict donne une variation stricte ; la conclusion reste vraie si la dérivée ne s’annule qu’en un nombre fini de points en gardant ailleurs le signe strict. Ne pas confondre le signe de $f$ avec celui de $f^\prime$. Les conclusions se font intervalle par intervalle.

Pour construire un tableau de variations : calculer $f^\prime$, établir son signe, puis calculer les valeurs de $f$ aux points remarquables et aux bornes incluses.

Minimum et maximum

Un maximum sur $I$ est une valeur $f(a)$ telle que $f(x)\leqslant f(a)$ pour tout $x\in I$ ; un minimum vérifie l’inégalité inverse. Un extrémum local ne concerne que les points proches de $a$.

Si $a$ est intérieur au domaine, si $f$ est dérivable en $a$ et si $f(a)$ est un extrémum local, alors $f^\prime(a)=0$ : la tangente est horizontale. La réciproque est fausse, par exemple pour $x^3$ en $0$.

Un passage de décroissance à croissance donne un minimum local ; l’inverse donne un maximum local. Pour un extrémum global, comparer toutes les valeurs candidates, y compris aux bornes incluses.

Variations d’un trinôme

Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\ne0$, on a $f^\prime(x)=2ax+b$, nulle en $\alpha=-\dfrac b{2a}$.

• $a>0$ : décroissance jusqu’à $\alpha$, puis croissance ; minimum $f(\alpha)$.
• $a<0$ : croissance jusqu’à $\alpha$, puis décroissance ; maximum $f(\alpha)$.

Comparer deux courbes

À une même abscisse $x$ du domaine commun, étudier $f(x)-g(x)$ :

• Valeur positive : la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$.
• Valeur négative : elle est au-dessous.
• Valeur nulle : les courbes ont un point commun.

Le signe d’une différence, ou le minimum d’une fonction, permet aussi de justifier une inégalité sur l’intervalle étudié.