Fonction exponentielle : cours de maths · Première spécialité

Définition et courbe

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)=\mathrm e^x$, est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ telle que $\exp(0)=1$ et $\exp^\prime=\exp$. Son existence et son unicité sont admises.

On note $\mathrm e=\exp(1)\approx2{,}71828$. Pour tout réel $x$, $\mathrm e^x>0$ ; la fonction est strictement croissante sur $\mathbb R$. Sa courbe passe par $(0\,;1)$ et $(1\,;\mathrm e)$. En $0$, sa tangente est $y=x+1$.

Courbe exponentielle et tangente en A(0 ; 1). Le triangle de pente rejoint B(1 ; 2), sur la tangente. — Le point $B$ appartient à la tangente, pas à la courbe.

Voir un exemple — Pourquoi préciser la valeur en zéro ?

La condition initiale compte

La fonction $f(x)=4\exp(x)$ vérifie $f'=f$, mais $f(0)=4\ne1$. La relation $f'=f$ seule ne suffit donc pas à identifier $\exp$.

Calculer avec les exposants

Pour $x,y\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb Z$,

\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^x\mathrm e^y,\qquad \mathrm e^{-x}=\frac{1}{\mathrm e^x},\qquad \frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^y}=\mathrm e^{x-y},\qquad(\mathrm e^x)^n=\mathrm e^{nx}.

Les dénominateurs exponentiels sont toujours non nuls. Une somme ou une différence d’exponentielles ne se simplifie pas en additionnant ou soustrayant les exposants.

Voir un exemple — Factoriser une différence

\mathrm e^{2x}-\mathrm e^x=\mathrm e^x(\mathrm e^x-1).

Comparer et résoudre

Pour tous réels $u,v$,

\mathrm e^u=\mathrm e^v\Longleftrightarrow u=v,\qquad \mathrm e^u<\mathrm e^v\Longleftrightarrow u<v,\qquad \mathrm e^u\leqslant\mathrm e^v\Longleftrightarrow u\leqslant v.

Utiliser $1=\mathrm e^0$ : $\mathrm e^{u(x)}-1$ a le même signe que $u(x)$, sur le domaine où $u$ est définie.

Voir un exemple — Une équation

\mathrm e^{2x-1}=1\Longleftrightarrow2x-1=0\Longleftrightarrow x=\frac12.

Dériver et lire les variations

Pour des constantes réelles $a$ et $k$, la fonction $x\mapsto k\mathrm e^{ax}$ est dérivable sur $\mathbb R$ et

(k\mathrm e^{ax})^\prime=ka\mathrm e^{ax}.

La fonction $x\mapsto\mathrm e^{ax}$ est strictement croissante si $a>0$, strictement décroissante si $a<0$, constante égale à $1$ si $a=0$. Si $k=0$, la dérivée est également nulle.

Pour $k\mathrm e^{ax}$, le signe de la dérivée est celui de $ka$ : si $k<0$, les variations sont inversées ; si $ka=0$, la fonction est constante.

Les courbes de $\mathrm e^{\frac t2}$ et $\mathrm e^{-\frac t2}$ passent toutes deux par $(0\,;1)$.

Courbes de e puissance t/2 et e puissance moins t/2 sur [0 ; 4], avec points aux abscisses 0, 2 et 4. — Un paramètre positif donne ici la croissance ; le paramètre opposé donne la décroissance.

Voir un exemple — Dériver une somme avec une exponentielle

Combiner les règles de dérivation

Pour $H(t)=3\mathrm e^{-2t}+t^2$, dérivable sur $\mathbb R$, on obtient

H'(t)=3(-2\mathrm e^{-2t})+2t=-6\mathrm e^{-2t}+2t.

Lien avec une suite géométrique

Pour un réel $a$ fixé, observer la fonction $t\mapsto\mathrm e^{at}$ aux entiers donne la suite $u_n=\mathrm e^{an}=(\mathrm e^a)^n$, $n\in\mathbb N$. Elle est géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $\mathrm e^a$.