Trigonométrie : cercle, radian, sinus et cosinus : cours de maths · Première spécialité

Cercle et radians

Le cercle trigonométrique a pour centre $O$, pour rayon $1$ et pour point de départ $I(1\,;0)$, dans un repère orthonormé. Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Un radian correspond à un arc de longueur $1$ sur ce cercle. Un tour vaut $2\pi$ radians ; $180^\circ=\pi$ rad. Pour convertir $d$ degrés : $\theta=\dfrac{\pi d}{180}$. Sur un cercle de rayon $R>0$, un arc d’angle $\theta\in[0\,;2\pi]$ radians a pour longueur $\ell=R\theta$.

Le point image de $x\in\mathbb R$ s’obtient en partant de $I$ : parcours de longueur $|x|$, direct si $x>0$, indirect si $x<0$ ; pour $x=0$, on reste en $I$. Les réels $x$ et $x+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$, ont le même point image.

Voir un exemple — Retirer des tours complets

$\dfrac{17\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+4\pi$ : ces deux réels ont le même point image. Retirer seulement $\pi$ donnerait le point opposé.

Lire cosinus et sinus

Le point image de $x$ a pour coordonnées $M(\cos x\,;\sin x)$ : le cosinus se lit horizontalement, le sinus verticalement.

Point image et projections ; le cosinus se lit horizontalement et le sinus verticalement.

-1\leqslant\cos x\leqslant1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant1,\qquad \cos^2x+\sin^2x=1.

Pour un angle aigu $\theta$ d’un triangle rectangle : $\cos\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$.

Sur les axes : en $0$, $(\cos x,\sin x)=(1,0)$ ; en $\frac\pi2$, $(0,1)$ ; en $\pi$, $(-1,0)$ ; en $\frac{3\pi}{2}$, $(0,-1)$.

Voir un exemple — Choisir le signe du sinus grâce au quadrant

Le signe fait partie de la lecture

Le point image de $x$ est dans le troisième quadrant et $\cos(x)=-\frac{3}{5}$. L’identité donne

\sin^2(x)=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.

Le sinus pourrait valoir $\frac{4}{5}$ ou $-\frac{4}{5}$ ; dans ce quadrant, l’ordonnée est négative. Ainsi $\sin(x)=-\frac{4}{5}$.

Valeurs remarquables

$x$	$\cos x$	$\sin x$
$\frac\pi4$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac\pi3$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$

Comprendre pourquoi — Retrouver les valeurs de π/4 et π/3

Dans le triangle rectangle isocèle de côtés égaux à $1$, Pythagore donne une hypoténuse $\sqrt2$. Pour l’angle $\frac{\pi}{4}$, les deux rapports valent $\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.

Triangle rectangle isocèle : côtés de l’angle droit 1, hypoténuse racine de 2, angle pi/4.

Dans le triangle équilatéral de côté $2$, la hauteur partage la base en deux longueurs $1$. Pythagore donne une hauteur $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$. Pour l’angle $\frac{\pi}{3}$, le côté adjacent vaut $1$, l’opposé $\sqrt3$ et l’hypoténuse $2$.

Triangle équilatéral de côté 2 : hauteur médiane racine de 3, base partagée en 1 et 1, angle pi/3.

\cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12,\qquad \sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}{2}.

Angles associés

Les symétries du cercle donnent, pour tout réel $x$,

\begin{aligned}\cos(-x)&=\cos x,&\sin(-x)&=-\sin x,\\\cos(\pi-x)&=-\cos x,&\sin(\pi-x)&=\sin x,\\\cos(\pi+x)&=-\cos x,&\sin(\pi+x)&=-\sin x.\end{aligned}

Ajouter $2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$ ne change aucune des deux valeurs. Contrôler leurs signes avec le quadrant.

Voir un exemple — Un angle associé

\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12,\qquad\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}.

Pour calculer une valeur approchée de $\cos x$ ou $\sin x$ lorsque $x$ est un réel, régler la calculatrice en radians.