Produit scalaire et calcul vectoriel : cours de maths · Première spécialité

Définir le produit scalaire

La norme $\|\vec u\|$ est la longueur du vecteur. Pour deux vecteurs non nuls d’angle $\theta\in[0\,;\pi]$ :

\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta.

Si un vecteur est nul, le produit vaut $0$. Pour $A\ne B$ et $H$ projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\,\overline{AH}$, où $\overline{AH}$ est positive sur la demi-droite $[AB)$, négative sur la demi-droite opposée, nulle si $H=A$.

Deux vecteurs de même origine, leur angle et une projection orthogonale.

\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2,\qquad \vec u\perp\vec v\Longleftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0.

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Pour deux vecteurs non nuls, le produit est positif pour un angle aigu ou nul, négatif pour un angle obtus ou plat.

Voir un exemple — Une projection orientée négative

Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. On a $AB=5$ et $AH=2$, avec $H$ sur la demi-droite opposée à $[AB)$. La projection orientée vaut donc $-2$ :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times(-2)=-10.

Calculer avec les coordonnées

Dans une base orthonormée $(\vec i,\vec j)$, pour $\vec u=(x\,;y)$ et $\vec v=(x^\prime\,;y^\prime)$ :

\vec u\cdot\vec v=xx^\prime+yy^\prime,\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad x=\vec u\cdot\vec i,\quad y=\vec u\cdot\vec j.

Pour trouver un angle entre deux vecteurs non nuls, calculer $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ puis choisir $\theta\in[0\,;\pi]$.

Voir un exemple — Tester l’orthogonalité

$(2\,;-1)\cdot(1\,;2)=2-2=0$ : ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Développer un produit ou une norme

Pour tous vecteurs du plan et tout réel $\lambda$ :

\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\qquad(\vec u+\vec v)\cdot\vec w=\vec u\cdot\vec w+\vec v\cdot\vec w,\qquad(\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v).

\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\pm2\vec u\cdot\vec v.

\vec u\cdot\vec v=\frac{\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2}{2}.

Voir un exemple — Développer un produit de deux combinaisons de vecteurs

Développer un produit

Supposons $\|\vec u\|=3$, $\|\vec v\|=2$ et $\vec u\cdot\vec v=1$. Par bilinéarité puis symétrie,

\begin{aligned} (2\vec u-\vec v)\cdot(\vec u+3\vec v) &=2\|\vec u\|^2+6\vec u\cdot\vec v-\vec v\cdot\vec u-3\|\vec v\|^2\\ &=18+6-1-12=11. \end{aligned}

Les produits d'un vecteur par lui-même donnent les normes au carré. Les deux autres produits sont égaux par symétrie : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u=1$.

Calculer une longueur dans un triangle

Dans un triangle $ABC$, avec $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ et $\widehat A=\widehat{BAC}$, la formule d’Al-Kashi est

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A.

Côté a opposé à l’angle A, côtés b et c adjacents.

$\widehat A$ est l’angle compris entre les côtés de longueurs $b$ et $c$.

Transformer un produit de vecteurs

Pour deux points fixes $A,B$, un point $M$ et le milieu $I$ de $[AB]$, les lettres sans flèche désignent des longueurs :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\frac{MA^2+MB^2-AB^2}{2}=MI^2-\frac{AB^2}{4}.

Si $A\ne B$, le produit est nul exactement lorsque $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$, extrémités $A$ et $B$ incluses.

Voir un exemple — Calculer un produit avec trois longueurs

Lire les longueurs, conserver les flèches

Si $MA=4$, $MB=5$ et $AB=6$, alors

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\frac{16+25-36}{2}=\frac52.

Inverser seulement la première flèche donne l’opposé : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MB}=-\frac{5}{2}$.