Géométrie repérée : droites, projections et cercles : cours de maths · Première spécialité

Droite et vecteur normal

Le repère est orthonormé. Un vecteur normal à une droite est non nul et perpendiculaire à sa direction.

Pour $(a\,;b)\ne(0\,;0)$, la droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et de normal $(a\,;b)$ a pour équation

\[a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.\]

Dans $ax+by+c=0$, un normal est $(a\,;b)$, un directeur est $(-b\,;a)$. Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul donne la même droite.

Voir un exemple — Écrire une équation

Par $A(1\,;2)$ avec le normal $(2\,;-1)$ : $2(x-1)-(y-2)=0$, soit $2x-y=0$.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal de $P$ sur une droite $d$ est l’unique point $H$ de $d$ tel que $\overrightarrow{PH}$ soit orthogonal à un directeur non nul $\vec u$ de $d$. Si $P\in d$, alors $H=P$.

Point P, pied H et angle droit exact sur la droite d.

Pour calculer ses coordonnées $H(x\,;y)$, résoudre les deux équations : $H\in d$ et $\overrightarrow{PH}\cdot\vec u=0$. La longueur $PH$ est la distance de $P$ à $d$, la plus petite des distances $PQ$ avec $Q\in d$.

Voir un exemple — Projeter sur une droite horizontale

Projeter sur une droite horizontale

La droite d’équation $y=-2$ est horizontale. La perpendiculaire qui passe par $Q(3\,;1)$ est verticale, d’équation $x=3$. Le projeté est donc $(3\,;-2)$ : on conserve l’abscisse et on remplace l’ordonnée par celle de la droite.

Équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $r>0$ a pour équation

\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\]

Pour tester si un point appartient au cercle, remplacer $x$ et $y$ par ses coordonnées.

Le rayon relie le centre au point M. Ici x est supérieur à a et y à b : les deux côtés perpendiculaires mesurent x−a et y−b. L’équation avec les carrés reste valable dans toutes les positions de M.

Reconnaître un cercle

Compléter les carrés dans $x^2+y^2+ux+vy+w=0$ :

\left(x+\frac u2\right)^2+\left(y+\frac v2\right)^2=R,\qquad R=\frac{u^2+v^2}{4}-w.

Si $R>0$, c’est un cercle de centre $\left(-\dfrac u2\,;-\dfrac v2\right)$ et de rayon $\sqrt R$.
Si $R=0$, l’ensemble se réduit à ce point.
Si $R<0$, il n’y a aucun point.

Voir un exemple — Reconnaître une équation qui ne donne pas un cercle

Quand l’équation ne définit pas un cercle

L’équation $x^2+y^2+2x-4y+5=0$ devient

\[(x+1)^2+(y-2)^2=0.\]

Son unique solution est le point $(-1\,;2)$.

Avec la constante $6$ à la place de $5$, le second membre serait $-1$ : il n’y aurait aucun point solution.