Probabilités conditionnelles et indépendance : cours de maths · Première spécialité

Probabilité conditionnelle

$A\cap B$ signifie que $A$ et $B$ se réalisent ; $\overline A$ est l’événement contraire de $A$. Si $\mathbb P(B)>0$, la probabilité de $A$ sachant $B$ est

\mathbb P_B(A)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)}.

On ne considère plus que les issues de $B$. Dans un tableau d’effectifs équiprobables, le dénominateur est donc l’effectif de $B$. $\mathbb P_B(A)$ et $\mathbb P_A(B)$ ne sont généralement pas égales.

\mathbb P_B(\overline A)=1-\mathbb P_B(A),\qquad \mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(B)\mathbb P_B(A).

Le conditionnement par un événement de probabilité nulle n’est pas défini.

Arbre et probabilités totales

Dans un arbre complet, la somme des poids des branches issues d’un même nœud de probabilité positive vaut $1$. La probabilité d’un chemin se calcule en multipliant ses poids ; celles de chemins incompatibles menant à un même événement s’additionnent. Un chemin de probabilité nulle ne fournit que des prolongements de probabilité nulle.

Arbre à deux niveaux : B et son complément, puis A et son complément conditionnellement à chaque première branche.

Une partition $(B_1,\ldots,B_m)$ de $\Omega$ est une famille d’événements non vides, deux à deux disjoints, dont la réunion vaut $\Omega$. Pour tout événement $A$,

\mathbb P(A)=\sum_{i=1}^{m}\mathbb P(A\cap B_i)=\sum_{i=1}^{m}\mathbb P(B_i)\mathbb P_{B_i}(A).

La dernière somme suppose $\mathbb P(B_i)>0$ pour les termes conditionnels utilisés ; les autres intersections ont une probabilité nulle.

En particulier, si $0<\mathbb P(B)<1$ :

\mathbb P(A)=\mathbb P(B)\mathbb P_B(A)+\mathbb P(\overline B)\mathbb P_{\overline B}(A).

Voir un exemple — Distinguer le poids d’une branche et la probabilité d’un chemin

Si $\mathbb P(B)=0{,}3$ et $\mathbb P_B(A)=0{,}8$, la branche qui mène à $A$ après $B$ porte $0{,}8$. Le chemin complet a pour probabilité

\mathbb P(B\cap A)=0{,}3\times0{,}8=0{,}24.

Indépendance

Pour $\mathbb P(B)>0$, $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $\mathbb P_B(A)=\mathbb P(A)$, ce qui équivaut à

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B).

La forme produit reste utilisable quand une probabilité est nulle, sans conditionner par cet événement. Si $\mathbb P(A)>0$, on peut aussi tester $\mathbb P_A(B)=\mathbb P(B)$.

L’indépendance se conserve en remplaçant l’un ou les deux événements par leur contraire. Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont pas indépendants.

Comprendre pourquoi — Incompatibilité et indépendance : le rôle des probabilités positives

Supposons $A\cap B=\varnothing$, avec $\mathbb P(A)>0$ et $\mathbb P(B)>0$. Alors $\mathbb P(A\cap B)=0$, tandis que $\mathbb P(A)\mathbb P(B)>0$.

Le critère $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)$ n’est donc pas satisfait : $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

Épreuves indépendantes et répétitions

Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité du couple de résultats $(A,B)$ est le produit de leurs probabilités. L’indépendance doit être donnée ou justifiée ; elle ne découle pas de la seule succession de deux expériences.

Une épreuve de Bernoulli a deux résultats : succès de probabilité $p$, échec de probabilité $1-p$, avec $0\leqslant p\leqslant1$. On étudie ici $1\leqslant n\leqslant4$ répétitions identiques et indépendantes. Dans l’arbre, les mêmes poids $p$ et $1-p$ reviennent à chaque niveau.

Pour $0<p<1$, un chemin précis contenant $k$ succès et $n-k$ échecs a pour probabilité $p^k(1-p)^{n-k}$. Pour un événement réunissant plusieurs chemins, additionner leurs probabilités.

Si $p=0$, seuls les échecs sont possibles ; si $p=1$, seuls les succès sont possibles.

Voir un exemple — Deux succès sur trois épreuves

Les chemins SSE, SES et ESS ont chacun la probabilité $p^2(1-p)$. La probabilité de deux succès exactement vaut donc $3p^2(1-p)$ pour $0<p<1$.