Variables aléatoires réelles : cours de maths · Première spécialité

Variable et loi de probabilité

Sur un univers fini $\Omega$, une variable aléatoire réelle $X$ associe à chaque issue $\omega$ un unique nombre réel $X(\omega)$. L’événement $\{X=a\}$ regroupe les issues donnant $a$ ; $\{X\leqslant a\}$ celles donnant une valeur inférieure ou égale à $a$.

La loi de $X$ donne ses valeurs distinctes $x_1,\ldots,x_r$ et leurs probabilités $p_i=\mathbb P(X=x_i)$. Pour chaque valeur, additionner les probabilités des issues qui la produisent.

p_i\geqslant0,\qquad \sum_{i=1}^{r}p_i=1,\qquad \mathbb P(X\leqslant a)=\sum_{x_i\leqslant a}p_i.

Si aucune valeur ne convient, la probabilité vaut $0$. Des issues équiprobables ne donnent pas nécessairement des valeurs de $X$ équiprobables.

Voir un exemple — Des issues équiprobables peuvent donner des valeurs inégalement probables

Sur un univers de cinq issues équiprobables, $X$ prend $-3$ pour une issue, $0$ pour deux issues, $2$ pour une issue et $6$ pour une issue. Ainsi

\mathbb P(X=0)=\frac25,\qquad \mathbb P(X\leqslant0)=\frac35.

Les cinq issues ont chacune la probabilité $\frac15$, mais les quatre valeurs de $X$ ne sont pas équiprobables.

Espérance

L’espérance est la moyenne théorique pondérée par les probabilités :

\mathrm E(X)=\sum_{i=1}^{r}x_ip_i.

Elle indique le centre autour duquel la moyenne observée se stabilise lors de nombreuses répétitions identiques et indépendantes ; elle ne prédit pas le résultat d’une seule expérience.

Voir un exemple — Une loi à deux valeurs

Si $X$ vaut $3$ ou $5$ avec probabilité $\frac12$ chacune, $\mathrm E(X)=3\times\frac12+5\times\frac12=4$. L’espérance peut ne pas être une valeur possible de $X$.

Linéarité

Pour $X,Y$ définies sur le même univers fini et des réels $a,b,c$,

\mathrm E(aX+bY+c)=a\mathrm E(X)+b\mathrm E(Y)+c.

Aucune indépendance n’est nécessaire. Une variable constante égale à $c$ a pour espérance $c$.

Variance et écart type

En notant $\mu=\mathrm E(X)$, la variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{r}p_i(x_i-\mu)^2=\mathrm E(X^2)-\mu^2,\qquad \mathrm E(X^2)=\sum_{i=1}^{r}x_i^2p_i.

\sigma(X)=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.

La variance est positive ou nulle. L’écart type a la même unité que $X$ ; il ne borne pas tous les écarts à la moyenne. Ne pas confondre $\mathrm E(X^2)$ et $(\mathrm E(X))^2$.

Voir un exemple — Reprendre la loi à deux valeurs

Pour les valeurs $3$ et $5$ équiprobables, $\mu=4$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac12(3-4)^2+\frac12(5-4)^2=1$. L’écart type vaut $1$.