Expérimentations, simulation et moyennes d'échantillons : cours de maths · Première spécialité

Moyenne d’un échantillon

Un échantillon de taille $n\geqslant1$ fournit $n$ observations $x_1,\ldots,x_n$, obtenues par répétitions identiques et indépendantes d’une expérience associée à une même variable aléatoire $X$. Leur moyenne observée est

m=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}.

Elle sert à estimer l’espérance $\mu$ d’une variable aléatoire, ou la moyenne d’une population. Elle dépend de l’échantillon ; même en augmentant $n$, elle ne se rapproche pas forcément de $\mu$ à chaque nouvelle observation. La distance étudiée est $|m-\mu|$.

Pour estimer la moyenne d’une population finie dans ce cadre, les individus sont choisis uniformément au hasard, de manière indépendante et avec remise.

Voir un exemple — Une moyenne

Pour les observations $2$, $8$, $8$, $2$, la moyenne vaut $\frac{2+8+8+2}{4}=5$.

Compter les moyennes proches

$N\geqslant1$ échantillons indépendants, suivant la même loi et tous de même taille $n\geqslant1$, donnent $N$ moyennes $m_1,\ldots,m_N$, à partir de $Nn$ observations. Pour une espérance $\mu$ et un écart type $\sigma\geqslant0$ connus, le critère étudié est

|m-\mu|\leqslant\frac{2\sigma}{\sqrt n}\quad\Longleftrightarrow\quad m\in\left[\mu-\frac{2\sigma}{\sqrt n}\,;\mu+\frac{2\sigma}{\sqrt n}\right].

Les bornes sont incluses. Si $\sigma=0$, le critère se réduit à $m=\mu$. Si $c$ des $N$ moyennes le satisfont, la proportion observée est $\dfrac cN$, y compris pour $c=0$.

Le dénominateur est $N$, le nombre de moyennes testées. Cette proportion expérimentale n’est pas une garantie universelle.

Voir un exemple — Calculer un seuil et inclure ses deux bornes

Pour des échantillons de taille $n=18$ d’une variable d’espérance $\mu=5$ et d’écart type $\sigma=\frac{3}{\sqrt2}$, on obtient

\delta_{18}=\frac{2\times\frac{3}{\sqrt2}}{\sqrt{18}}=\frac6{\sqrt{36}}=1.

Le critère est donc $m\in[4\,;6]$. Les moyennes $4$ et $6$ le satisfont ; $6{,}1$ ne le satisfait pas.