Suites arithmétiques et géométriques : cours de maths · Première technologique

Suites arithmétiques

Une suite est arithmétique si elle ajoute une même raison réelle $r$ à chaque rang admissible :

u_{n+1}=u_n+r,\qquad u_{n+1}-u_n=r.

Le terme général dépend du rang initial :

u_n=u_0+nr\ (n\ge0),\qquad u_n=u_1+(n-1)r\ (n\ge1).

Elle est strictement croissante si $r>0$, constante si $r=0$, strictement décroissante si $r<0$. Les points $(n;u_n)$ sont alignés.

Exemple : $u_1=12$ et $r=-2$ donnent $u_5=12+4\times(-2)=4$.

Pour établir la nature arithmétique, vérifier la constance de $u_{n+1}-u_n$ pour tout rang. Pour la nature géométrique positive, vérifier de même la constance du quotient ou la relation de récurrence. Quelques valeurs ou un nuage ne suffisent pas ; deux différences distinctes réfutent déjà la constance.

Voir un exemple — Établir ou réfuter la nature arithmétique

Pour $a_n=40+6n$, avec $n$ entier et $n\ge0$, $a_{n+1}-a_n=6$ à tout rang : la suite est arithmétique de raison $6$.

Pour $w_n=n^2+2$, les premiers termes sont $2$, $3$, $6$. Les différences $3-2=1$ et $6-3=3$ sont distinctes : cette suite n’est pas arithmétique.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le premier rang change la formule

Pour une suite arithmétique de raison réelle $r$, passer d’un rang au suivant ajoute $r$. Du rang $0$ au rang entier $n\ge0$, il y a $n$ ajouts ; du rang $1$ au rang $n\ge1$, il y en a $n-1$.

Comme $u_{n+1}-u_n=r$ à chaque rang, le signe de $r$ donne la variation : croissance stricte si $r>0$, constance si $r=0$, décroissance stricte si $r<0$.

Suites géométriques à termes positifs

Dans ce chapitre, les termes sont strictement positifs. La suite est géométrique si une même raison $q>0$ vérifie, pour tout rang admissible :

v_{n+1}=qv_n,\qquad \frac{v_{n+1}}{v_n}=q.

v_n=v_0q^n\ (n\ge0),\qquad v_n=v_1q^{n-1}\ (n\ge1).

Elle est strictement croissante si $q>1$, constante si $q=1$, strictement décroissante si $0<q<1$. La positivité des termes est indispensable à ces conclusions.

Un taux décimal $t$ correspond à $q=1+t$ : une hausse de $12\,\%$ donne $1{,}12$, une baisse de $8\,\%$ donne $0{,}92$. On ajoute une quantité constante dans le cas arithmétique ; on multiplie par un coefficient constant dans le cas géométrique.

Comprendre pourquoi — Raison géométrique et positivité

Depuis le rang 0, on multiplie $n$ fois par $q$ ; depuis le rang 1, seulement $n-1$ fois. Pour les variations, $v_{n+1}-v_n=(q-1)v_n$. Comme $v_n>0$, cette différence a le signe de $q-1$. Les conditions de positivité sont indispensables.

Calculer avec les taux d’évolution

Pour des valeurs initiale $V_i$ et finale $V_f$ strictement positives, avec un taux décimal $t>-1$ :

V_f=(1+t)V_i,\qquad V_i=\frac{V_f}{1+t},\qquad t=\frac{V_f-V_i}{V_i}.

Pour deux taux successifs $t_1,t_2>-1$, les coefficients se multiplient :

t_{\mathrm{global}}=(1+t_1)(1+t_2)-1.

Le taux qui ramène à la valeur initiale est :

t_{\mathrm{réciproque}}=\frac{1}{1+t}-1.

Exemple : une hausse de $12\,\%$ suivie d’une baisse de $10\,\%$ donne $1{,}12\times0{,}90=1{,}008$, soit une hausse globale de $0{,}8\,\%$.

Comprendre pourquoi — Coefficients successifs et taux réciproque

Avec $V_i>0$ et $t>-1$, la variation est $tV_i$, donc $V_f=(1+t)V_i$. On peut diviser par $V_i$ ou par $1+t$, tous deux non nuls, pour retrouver le taux ou la valeur initiale. Deux évolutions successives multiplient leurs coefficients. Pour revenir au départ, $(1+s)(1+t)=1$, donc $s=\frac{1}{1+t}-1$.