CoursPremière technologique
Fonctions et polynômes
Fonction et lecture de sa courbe
Une fonction $f$ définie sur un domaine $D$ associe à chaque $x\in D$ une unique image $f(x)$. Un antécédent de $k$ est un nombre $x\in D$ tel que $f(x)=k$ ; $k$ peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
La courbe de $f$ a pour équation $y=f(x)$ : ses points sont $(x;f(x))$, avec $x\in D$. Pour résoudre $f(x)=k$, lire les abscisses des intersections avec $y=k$. Pour $f(x)>k$ ou $f(x)<k$, lire celles des points au-dessus ou en dessous. Garder les valeurs du domaine ; une inégalité stricte exclut les points où $f(x)=k$.
Le signe se lit par rapport à l’axe horizontal : au-dessus, $f(x)>0$ ; en dessous, $f(x)<0$. Une lecture graphique peut être approchée.
Exemple : pour $f(x)=x^2$ sur $\mathbb R$, l’image de $-2$ est $4$ et les antécédents de $4$ sont $-2$ et $2$.
Variations et taux de variation
Sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si, pour tous $a<b$ dans $I$, $f(a)\le f(b)$ ; elle est décroissante si $f(a)\ge f(b)$. Avec des inégalités strictes, la variation est stricte. Une fonction constante est à la fois croissante et décroissante au sens large. Le tableau de variations indique les intervalles, les flèches et les valeurs aux bornes.
Pour $a$ et $b$ distincts dans le domaine, le taux de variation est la pente de la sécante passant par $(a;f(a))$ et $(b;f(b))$ :
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si tous ses taux entre deux points distincts de $I$ sont positifs ou nuls ; elle est décroissante si et seulement s’ils sont négatifs ou nuls. Un seul taux ne suffit pas à décider.
Voir un exemple — Calculer la pente entre deux points
Une variation moyenne
Pour $f(x)=x^2$, les points d'abscisses $1$ et $3$ sont $A(1;1)$ et $B(3;9)$. Le taux de variation vaut
La sécante a donc une pente de $4$. Les images augmentent en moyenne de $4$ unités par unité de la variable entre ces deux points.
Comprendre pourquoi — Pourquoi tous les taux donnent le sens de variation
Pour $a<b$ dans $I$, $b-a>0$. Le taux a donc le signe de $f(b)-f(a)$. Exiger des taux positifs ou nuls pour toutes ces paires revient à exiger $f(a)\leq f(b)$ ; avec des taux négatifs ou nuls, on obtient $f(a)\geq f(b)$. Échanger $a$ et $b$ ne change pas le quotient.
Parabole, axe et sommet
Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ sur $\mathbb R$, avec $a\ne0$. Sa courbe est une parabole d’axe vertical. Le sommet se trouve sur cet axe.
Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’au sommet puis croît : le sommet donne un minimum. Si $a<0$, elle croît puis décroît : il donne un maximum. Deux points distincts de même hauteur sont symétriques ; le milieu de leurs abscisses situe l’axe.
Pour $f(x)=ax^2+c$, l’axe est $x=0$ et le sommet $(0;c)$. Le cas $ax^2$ correspond à $c=0$.
Comprendre pourquoi — Symétrie et sommet de ax²+c
Soit $f(x)=ax^2+c$ sur $\mathbb R$, avec $a\ne0$. Comme $f(-x)=f(x)$, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Le carré vaut $0$ en $0$ et reste positif ou nul. Ainsi le sommet est $(0;c)$ : minimum si $a>0$, maximum si $a<0$. Multiplier par un réel positif conserve les variations du carré ; un réel négatif les inverse. Ajouter $c$ ne change pas leur sens.
Racines, factorisation et signe
Une racine $r$ vérifie $f(r)=0$. Si $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ avec $a\ne0$, ses racines sont $r_1$ et $r_2$.
Si $r_1<r_2$, $f$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe contraire entre elles, et vaut $0$ aux racines. Si les deux racines sont égales à $r$, alors $f(x)=a(x-r)^2$ est du signe de $a$ pour $x\ne r$ et s’annule en $r$.
Pour factoriser dans un cas simple, vérifier la racine connue par substitution, puis regrouper les termes pour faire apparaître un facteur. Contrôler l’identité obtenue en développant.
Exemple : pour $p(x)=x^2-6x+5$, $p(1)=0$ et
Cette identité est vraie pour tout $x$. Les solutions de $p(x)=0$ sont $1$ et $5$ ; celles de $p(x)\le0$ sont $x\in[1;5]$. Les deux racines situent l’axe en $x=3$ et $p(3)=-4$ donne le sommet.
Comprendre pourquoi — Signe du produit entre deux racines
Soit $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$, avec $a\ne0$ et $r_1<r_2$. Avant $r_1$, les deux facteurs sont négatifs ; entre les racines, ils sont de signes contraires ; après $r_2$, ils sont positifs.
Leur produit est donc positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Le facteur $a$ donne le signe final. Aux racines, un facteur nul donne $f(x)=0$.