CoursPremière technologique
Dérivation et optimisation
Nombre dérivé
Soit $f$ définie autour de $a$. Pour $h\ne0$ et $a+h$ dans son domaine, on considère le taux de variation :
S’il se rapproche d’un même réel quand $h$ se rapproche de $0$, des deux côtés, $f$ est dérivable en $a$. Ce réel est le nombre dérivé $f'(a)$ :
Cette limite se comprend ici intuitivement. On ne remplace pas $h$ par $0$ dans le quotient.
Comprendre pourquoi — Retrouver le nombre dérivé de la fonction carré
Pour $f(x)=x^2$ sur $\mathbb R$, fixer un réel $a$. Pour $h\ne0$, développer puis simplifier donne :
Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $2a$. Ainsi $f'(a)=2a$. On n’a jamais divisé par $h=0$.
Tangente : pente et équation
Si $f$ est dérivable en $a$, les sécantes passant par $A(a;f(a))$ se rapprochent de la tangente lorsque leur second point se rapproche de $A$. Sa pente vaut $f'(a)$ ; son équation est :
$f(a)$ est une ordonnée, $f'(a)$ une pente. Pour lire cette pente, choisir deux points de la tangente d’abscisses distinctes et calculer le quotient :
Exemple : pour $s(t)=t^2+t$, $s(2)=6$ et $s'(2)=5$. La tangente est $y=5(t-2)+6=5t-4$.
Elle passe par $(2;6)$ et $(3;11)$ ; le second point n’est pas sur la courbe puisque $s(3)=12$. Une tangente est horizontale si et seulement si $f'(a)=0$.
Comprendre pourquoi — Retrouver l’équation de la tangente
Supposons $f$ dérivable en $a$. Sa tangente a la pente $f'(a)$ et passe par $(a;f(a))$. Écrivons $y=f'(a)x+b$.
Au point de contact, $f(a)=af'(a)+b$, donc $b=f(a)-af'(a)$. En remplaçant :
Dériver un polynôme
Sur un intervalle où $f$ est dérivable, sa fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ le nombre $f'(x)$. Les dérivées usuelles, sur $\mathbb R$, sont :
Pour $u,v$ dérivables sur un même intervalle et $k$ constant :
On dérive donc terme à terme un polynôme de degré au plus $3$ ; le terme constant disparaît.
Voir un exemple — Dériver terme à terme puis évaluer
Dériver un polynôme terme à terme
Pour $g(x)=2x^3-5x^2+4x-7$ sur $\mathbb R$, les coefficients restent constants et le terme $-7$ a une dérivée nulle. On obtient $g'(x)=6x^2-10x+4$, puis $g'(2)=6\times4-10\times2+4=8$. La tangente à la courbe en abscisse $2$ a donc pour coefficient directeur $8$.
Variations et extrémums
Pour $f$ dérivable sur un intervalle $I$, si $f'\ge0$ partout sur $I$, $f$ y est croissante ; si $f'\le0$, elle est décroissante ; si $f'=0$ partout, elle est constante. Ces résultats sont admis. Le signe de $f'$ donne les variations, pas le signe de $f$.
Un maximum ou un minimum est une valeur atteinte, respectivement supérieure ou inférieure à toutes les valeurs sur le domaine considéré. En un point intérieur $a$ avec $f'(a)=0$, un passage de $f'$ de $+$ à $-$ sur deux intervalles voisins donne un maximum local ; de $-$ à $+$, un minimum local.
$f'(a)=0$ seul ne suffit pas : $x^3$ n’a pas d’extrémum en $0$. Pour un extremum sur tout un intervalle fermé partagé en un nombre fini d’intervalles fermés où la fonction est monotone, comparer les images de toutes les extrémités, y compris les bornes du domaine.
Exemple sur $[-2;4]$ : pour $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$, $f'(x)=3(x+1)(x-3)$. Le signe $+,-,+$ donne les variations suivantes.
Les valeurs aux deux bornes et aux deux changements de variation sont $3$, $10$, $-22$ et $-15$. Le maximum est $10$ en $-1$ ; le minimum est $-22$ en $3$.
Comprendre pourquoi — Une dérivée nulle sans extrémum
Pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ et $f(0)=0$. Or les images sont négatives juste avant 0 et positives juste après. Tout voisinage contient des images plus petites et plus grandes que $f(0)$ : aucun extrémum local en 0.