Statistique à deux variables quantitatives : cours de maths · Première technologique

Nuage de points et point moyen

Une série à deux variables quantitatives donne un couple $(x_i;y_i)$ pour chacune des mêmes observations. Le nuage est l’ensemble des points de ces coordonnées. Nommer les axes, préciser unités et échelles, puis placer les couples sans les relier. Une association entre variables ne prouve pas une causalité.

Pour $n>0$ observations, le point moyen est $G(\bar x;\bar y)$, avec :

\bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n},\qquad\bar y=\frac{y_1+\cdots+y_n}{n}.

Les deux moyennes portent sur les mêmes couples. Le point moyen n’est pas forcément une observation ; il ne suffit pas à juger la qualité d’un ajustement.

Voir un exemple — Calculer les deux coordonnées du point moyen

Considérons les six couples $(0;18)$, $(1;20)$, $(2;21)$, $(3;24)$, $(4;25)$, $(5;27)$. Leurs moyennes sont :

\bar x=\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\frac{15}{6}=2{,}5,\qquad\bar y=\frac{18+20+21+24+25+27}{6}=\frac{135}{6}=22{,}5.

Le point moyen est $G(2{,}5;22{,}5)$. Il n’est pas l’un des six couples observés.

Choisir une droite d’ajustement

Un ajustement affine utilise une droite $y=ax+b$ pour décrire la relation de façon approchée. Il est pertinent si le nuage est assez proche d’une direction rectiligne ; une équation fournie par un outil ne suffit pas à le valider.

On peut ajuster au jugé ou relier les points moyens de deux groupes rangés par abscisses (droite de Mayer). La méthode des moindres carrés choisit $a,b$ pour minimiser la somme :

\sum_{i=1}^{n}\bigl[y_i-(ax_i+b)\bigr]^2.

Chaque écart $y_i-(ax_i+b)$ est vertical et signé : positif au-dessus, négatif en dessous, nul sur la droite. Les carrés évitent que des écarts opposés se compensent.

Les points sont les données ; la droite est le modèle. Le point moyen est repéré par un cercle vide.

Sur la figure, la droite $y=1{,}8x+18$ donne $21{,}6$ pour $x=2$, alors que la donnée vaut $21$ : l’écart est $-0{,}6$. La droite ne passe pas par tous les points.

Interpolation et extrapolation

Pour estimer $y$, remplacer $x$ dans $ax+b$. Pour retrouver $x$ à partir de $y$, résoudre l’équation correspondante si $a\ne0$.

Une interpolation utilise une abscisse dans la plage observée ; une extrapolation utilise une abscisse au-delà. L’estimation est approchée, pas une mesure. L’extrapolation est plus fragile : la tendance peut changer.