Probabilités conditionnelles et indépendance : cours de maths · Première technologique

Probabilité conditionnelle

L’intersection $A\cap B$ signifie que $A$ et $B$ se réalisent ensemble. Si $\mathbb P(A)>0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :

\mathbb P_A(B)=\frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(A)}.

L’indice $A$ indique l’information connue. Dans un tableau d’effectifs, on divise l’effectif commun à $A$ et $B$ par l’effectif de $A$, qui doit être non nul.

Exemple : si $\mathbb P(M)=0{,}5$, $\mathbb P(G)=0{,}6$ et $\mathbb P(M\cap G)=0{,}3$, alors $\mathbb P_M(G)=0{,}6$ et $\mathbb P_G(M)=0{,}5$. Intersection et probabilités conditionnelles répondent à des questions différentes.

Indépendance

Si $\mathbb P(A)>0$, $B$ est indépendant de $A$ lorsque $\mathbb P_A(B)=\mathbb P(B)$ : l’information $A$ ne change pas la probabilité de $B$.

Si $\mathbb P(A)>0$ et $\mathbb P(B)>0$, cette relation équivaut à $\mathbb P_B(A)=\mathbb P(A)$. L’indépendance est alors symétrique. Pour ces événements indépendants :

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B).

L’indépendance doit être donnée ou justifiée par les probabilités. Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont pas indépendants : ils ne peuvent pas se réaliser ensemble.

Comprendre pourquoi — Pourquoi l’indépendance est symétrique

Avec $\mathbb P(A)>0$ et $\mathbb P(B)>0$, l’égalité $\mathbb P_A(B)=\mathbb P(B)$ donne $\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P(B)$. Comme $A\cap B=B\cap A$, diviser par $\mathbb P(B)$ donne $\mathbb P_B(A)=\mathbb P(A)$. Le même calcul dans l’autre sens établit la réciproque.

Arbre et probabilités totales

Dans un arbre, les branches issues d’un même nœud ont une somme de poids égale à $1$. Au second niveau, les poids sont conditionnels. Si $\mathbb P(A)>0$, le chemin $A$ puis $B$ a pour probabilité :

\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B).

On multiplie le long d’un chemin et on additionne les probabilités de chemins disjoints. Le produit sur un chemin ne suppose pas l’indépendance.

Si $0<\mathbb P(A)<1$, $A$ et son contraire $\bar A$ couvrent toutes les possibilités ; les deux conditionnements sont définis :

\mathbb P(B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)+\mathbb P(\bar A)\mathbb P_{\bar A}(B).

Exemple représenté : $\mathbb P(A)=0{,}7$, $\mathbb P_A(H)=0{,}9$ et $\mathbb P_{\bar A}(H)=0{,}8$. Ainsi $\mathbb P(H)=0{,}7\times0{,}9+0{,}3\times0{,}8=0{,}87$.

Arbre complet : 0,7 et 0,3 au premier niveau ; 0,9 et 0,1 après A ; 0,8 et 0,2 après le contraire de A.

Comprendre pourquoi — Décomposer l’événement pour obtenir la probabilité totale

Si $0<\mathbb P(A)<1$, les événements $A\cap B$ et $\bar A\cap B$ sont disjoints et leur réunion est $B$. Donc :

\mathbb P(B)=\mathbb P(A\cap B)+\mathbb P(\bar A\cap B).

Les deux événements conditionnants ont une probabilité non nulle. Le produit le long de chaque chemin transforme cette somme en :

\mathbb P(B)=\mathbb P(A)\mathbb P_A(B)+\mathbb P(\bar A)\mathbb P_{\bar A}(B).