Répétitions d’épreuves de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli et répétition

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès $S$ et échec $E$. Le paramètre $p\in[0;1]$ est la probabilité du succès :

Pour une répétition, fixer le nombre entier $n$ d’épreuves et le sens du succès. Les épreuves sont identiques (même paramètre $p$) et indépendantes (les résultats précédents ne changent pas les probabilités suivantes). Ces deux hypothèses sont distinctes ; répéter le même geste ne prouve pas l’indépendance.

Calculer avec l’arbre

Pour $1\le n\le4$, l’arbre a un niveau par épreuve. À chaque nœud, les branches $S,E$ portent les mêmes poids $p,1-p$ ; leur somme vaut $1$.

La probabilité d’un chemin est le produit de ses poids. Celle d’un événement est la somme des probabilités des chemins disjoints qui le réalisent.

Exemple pour $n=3$ et $p=0{,}4$ : le chemin $SES$ a pour probabilité $0{,}4\times0{,}6\times0{,}4=0{,}096$.

Exactement ou au moins

Dans le même arbre, exactement deux succès correspondent aux trois chemins $SSE$, $SES$, $ESS$. Leur probabilité totale est $3\times0{,}096=0{,}288$.

Au moins un succès inclut un, deux ou trois succès. Son contraire est aucun succès, soit $EEE$ : la probabilité cherchée vaut $1-0{,}6^3=0{,}784$.