Variables aléatoires discrètes : cours de maths · Première technologique

Variable aléatoire et loi

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue. Dans les cas étudiés, ses valeurs possibles sont en nombre fini. Sa loi donne la probabilité de chacune : les probabilités sont dans $[0;1]$ et leur somme vaut $1$.

L’événement $\{X=a\}$ regroupe les issues donnant $a$ ; $\{X\le a\}$ regroupe celles donnant une valeur au plus égale à $a$. On additionne les probabilités des valeurs retenues.

Exemple : $X$ est un score qui vaut $-1$, $2$ ou $5$ avec les probabilités $0{,}7$, $0{,}2$, $0{,}1$. Alors $\mathbb P(X=2)=0{,}2$ et $\mathbb P(X\le2)=0{,}7+0{,}2=0{,}9$.

Espérance

Si $X$ prend les valeurs $x_1,\ldots,x_r$ avec les probabilités $p_1,\ldots,p_r$, son espérance est la moyenne pondérée :

\mathrm E(X)=x_1p_1+\cdots+x_rp_r.

Elle a la même unité que $X$ et sert de référence à la moyenne de nombreuses répétitions indépendantes dans les mêmes conditions. Elle ne prédit pas le résultat d’une réalisation.

Pour le score précédent, $\mathrm E(X)=(-1)\times0{,}7+2\times0{,}2+5\times0{,}1=0{,}2$. Cette valeur n’est pas un score possible.

Loi de Bernoulli

Une variable $Y$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0;1]$ si elle code le succès par $1$ et l’échec par $0$ :

\mathbb P(Y=1)=p,\qquad\mathbb P(Y=0)=1-p,\qquad\mathrm E(Y)=p.

Dans une liste non vide de $0$ et de $1$, la moyenne est égale à la fréquence des $1$. Cette fréquence observée peut différer de $p$.

Comprendre pourquoi — Espérance de Bernoulli et fréquence des 1

Le codage donne $\mathrm E(Y)=0(1-p)+1p=p$. Dans une liste de $n>0$ résultats contenant $r$ fois 1, la somme vaut $r$. La moyenne et la fréquence des 1 valent toutes deux $\frac{r}{n}$.

Fréquence et fluctuation

Un échantillon contient $n>0$ répétitions indépendantes d’une même épreuve de Bernoulli. Sa fréquence de succès est :

f=\frac{\text{nombre de succès}}{n}.

D’un échantillon à l’autre, $f$ varie tandis que $p$ reste fixe : c’est la fluctuation d’échantillonnage. $n$ compte les épreuves dans un échantillon ; $N$ compte les échantillons.

La distance à $p$ est $|f-p|$. L’écart-type $s$ décrit la dispersion de toute la série des fréquences, pas cette distance isolée. Comparer aux distances $s$, $2s$ ou $3s$ décrit des observations ; cela ne donne pas une règle automatique de test.

À $p$ fixé avec $0<p<1$, on observe une dispersion de l’ordre de $\frac{1}{\sqrt n}$. Pour la diviser environ par $k>1$, on multiplie la taille $n$ par $k^2$. Augmenter seulement $N$ ne change pas la taille des échantillons. Pour $p=0$ ou $p=1$, la dispersion est nulle.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la taille est multipliée par k²

Pour $n>0$ et $k>1$, $\sqrt{k^2n}=k\sqrt n$. Donc $\frac1{\sqrt{k^2n}}=\frac1k\times\frac1{\sqrt n}$. Ce facteur est exactement divisé par $k$ ; l’effet sur la dispersion reste expérimental et approché.