Algorithmique et programmation en contexte : cours de maths · Première technologique

Ensembles et intervalles

$x\in A$ signifie que $x$ appartient à $A$ ; $A\subset E$ que tous les éléments de $A$ appartiennent à $E$. $\varnothing$ est l’ensemble vide. Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments.

$A\cap B$ signifie « dans $A$ et dans $B$ » ; $A\cup B$ signifie « dans $A$ ou dans $B$ », y compris les deux. Le complémentaire $E\setminus A$ contient les éléments de $E$ absents de $A$ ; il dépend de l’ensemble $E$.

$\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R$ désignent les naturels, entiers relatifs, décimaux à écriture finie, rationnels (quotients d’entiers à dénominateur non nul) et réels. Ils sont inclus dans cet ordre.

$x\in[2;5[$ signifie $2\le x<5$ ; les crochets indiquent si une borne est incluse. Un couple $(a;b)$ est ordonné ; $C\times F$ contient les couples avec $a\in C$ et $b\in F$.

Voir un exemple — Distinguer entier, décimal et rationnel

$-3\in\mathbb Z$. Le nombre $\frac14=0{,}25$ appartient à $\mathbb D$. Le nombre $\frac13$ appartient à $\mathbb Q$ mais pas à $\mathbb D$, car son écriture décimale n’est pas finie. $\sqrt2$ est un réel irrationnel.

Lettres et raisonnement

Une identité est vraie pour toute valeur admissible ; une équation cherche les valeurs qui vérifient une égalité. Une variable peut changer ; une inconnue est à déterminer ; un paramètre est fixé pour choisir un objet. Une indéterminée sert à écrire une identité.

« Pour tout » affirme pour chaque élément : un contre-exemple suffit à réfuter. « Il existe » demande au moins un élément qui convient.

« Si $P$, alors $Q$ » : $P$ suffit pour $Q$ ; $Q$ est nécessaire à $P$. La réciproque « si $Q$, alors $P$ » n’est pas automatique. La contraposée « si non $Q$, alors non $P$ » équivaut à l’implication initiale. « Si et seulement si » affirme les deux sens.

Exemple : être multiple de $6$ suffit pour être multiple de $3$. La réciproque est fausse : $3$ n’est pas multiple de $6$.

Voir un exemple — Une lettre, plusieurs emplois

Une lettre, plusieurs emplois

Dans $f(x)=2x+1$, $x$ est une variable : sa valeur peut changer.

L'égalité $(X+1)^2=X^2+2X+1$ est une identité : elle reste vraie pour toute substitution réelle à l'indéterminée $X$.

Dans l'équation $2x+1=7$, $x$ est l'inconnue à déterminer. On obtient $2x=6$, puis $x=3$ ; toutes les valeurs ne conviennent pas.

Dans $f_a(x)=ax+1$, le paramètre $a$ est fixé pour choisir une fonction ; ensuite $x$ varie. Les choix $a=2$ et $a=-1$ donnent deux fonctions différentes.

Uniquement STD2A : figures régulières

Un polygone régulier convexe a des côtés égaux et des angles égaux. Pour $m\ge3$ côtés, ses sommets sur un cercle sont séparés par l’angle au centre :

\frac{360^\circ}{m}.

On peut le construire en répétant un motif par rotations. Pour l’hexagone régulier, l’angle vaut $60^\circ$ et le côté est égal au rayon du cercle.

Une frise répète une maille par translation dans une direction ; un pavage couvre le plan sans trous ni recouvrements des intérieurs. Un motif peut reconstruire la maille par transformations. La figure utilise un triangle rectangle isocèle pour former un carré, répété dans une puis deux directions.

Trois mailles carrées forment une bande ; le triangle ABC est repéré dans la première. À droite, six mailles sur deux rangées montrent un extrait du pavage, qui se poursuit dans les deux directions.

Comprendre pourquoi — STD2A : angle au centre d’un polygone régulier

Un polygone régulier convexe à $m\ge3$ côtés a ses sommets régulièrement répartis sur un cercle. Les $m$ angles au centre entre sommets consécutifs sont égaux et leur somme est $360^\circ$. Chacun mesure donc $\frac{360^\circ}{m}$.

Uniquement STD2A : repérage et perspective

Dans un repère orthonormal de l’espace (axes perpendiculaires deux à deux et même unité), les coordonnées donnent les déplacements suivant les trois axes. La distance entre $P$ et $Q$ est :

PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2}.

Une projection parallèle envoie un point sur un plan suivant une direction non parallèle à ce plan. Dans les directions non écrasées, elle conserve alignement, parallélisme, milieux et rapports de longueurs sur des droites parallèles. Les contacts d’une figure plane sont conservés si son plan n’est pas aplati. Longueurs et angles sont généralement déformés.

En perspective cavalière, une face parallèle au dessin garde sa vraie forme ; des arêtes fuyantes parallèles ont même direction et même réduction. Les arêtes cachées sont en pointillé. On ne lit pas directement une longueur réelle sur une arête fuyante.

Boîte cubique en perspective cavalière. Face avant ABEF, face arrière DCGH. Les arêtes issues du sommet caché D sont en pointillé.

Comprendre pourquoi — STD2A : distance dans un repère orthonormal

Dans un repère orthonormal de l’espace, prenons $P(x_P;y_P;z_P)$ et $Q(x_Q;y_Q;z_Q)$, puis $H(x_Q;y_P;z_P)$ et $T(x_Q;y_Q;z_P)$. Ici, $H$ et $T$ sont des points auxiliaires ; $H$ ne désigne pas le sommet du cube.

Les déplacements $PH$ et $HT$ sont perpendiculaires ; le déplacement $TQ$ est perpendiculaire au plan horizontal contenant $PT$. Deux applications de Pythagore donnent :

PT^2=(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2,\qquad PQ^2=PT^2+(z_Q-z_P)^2.

Si un déplacement est nul, les mêmes égalités restent valables. Comme $PQ\ge0$, prendre la racine carrée donne la formule de distance de la section.

Uniquement STD2A : sections et ellipses

Une section est l’intersection d’un solide avec un plan. Sa forme réelle peut être différente de son dessin en perspective. Dans le cube d’arête $4$, la section $ACGE$ est un rectangle de côtés $4\sqrt2$ et $4$.

Le rectangle de section ACGE est repéré en bleu dans le cube en perspective. Il joint les diagonales AC et EG des faces horizontales.

Rectangle de la section ACGE en vraie grandeur, largeur 4 racine de 2 centimètres et hauteur 4 centimètres.

Pour un cylindre de rayon $R>0$ et de hauteur $h>0$, une coupe parallèle aux bases, entre celles-ci, donne un disque de rayon $R$ ; une coupe contenant l’axe donne un rectangle de côtés $2R$ et $h$.

Une ellipse est l’image d’un cercle par une projection parallèle entre deux plans, suivant une direction non parallèle à chacun : l’image n’est pas aplatie. Le cercle est un cas particulier. Si le plan de coupe n’est pas parallèle à l’axe et si toutes les génératrices le rencontrent entre les deux bases, le bord de la coupe est une ellipse complète.

Pour dessiner l’image perspective d’un cercle, projeter son carré circonscrit en un parallélogramme. Les contacts restent aux milieux des côtés. Ajouter sur chaque segment centre-sommet le point situé à la fraction $\frac{1}{\sqrt2}$ du trajet, puis tracer l’ellipse en respectant les tangentes.

À gauche, cercle inscrit dans un carré : quatre contacts aux milieux des côtés et quatre points sur les diagonales. À droite, leurs images forment une ellipse inscrite dans un parallélogramme. O et O′ sont les centres ; S et S′ des sommets ; U et U′ des points diagonaux correspondants.

Une tangente touche le cercle ou l’ellipse en un point sans traverser la courbe. Pour circonscrire un parallélogramme à une ellipse, tracer ses deux tangentes parallèles dans chacune de deux directions distinctes ; leurs quatre intersections forment le parallélogramme.

Comprendre pourquoi — STD2A : placer les points diagonaux de l’ellipse

Un cercle de centre $O$ et de rayon $R>0$ est inscrit dans un carré de côté $2R$. Pour un sommet $S$ du carré, Pythagore donne $OS=R\sqrt2$. Si $U$ est le point du cercle situé sur $[OS]$, alors $OU=R$, donc :

\frac{OU}{OS}=\frac{R}{R\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.

Une projection parallèle qui n’aplatit pas le plan du cercle conserve ce rapport sur la diagonale, les milieux et les contacts. Les points projetés donnent donc les points diagonaux et les contacts utilisés pour tracer l’ellipse.