Probabilités conditionnelles et indépendance : cours de maths · Première tronc commun

Conditionnement et indépendance

$A\cap B$ signifie que $A$ et $B$ se réalisent ; $\overline A$ est l’événement contraire.

Probabilité conditionnelle

Si $\mathbb P(A)>0$, $\mathbb P_A(B)$ est la probabilité de $B$ parmi les cas où $A$ est réalisé. L’événement en indice fixe la référence. Dans un tableau d’issues équiprobables, diviser l’effectif de $A\cap B$ par l’effectif de $A$, qui doit être non nul.

Voir un exemple — Trois dénominateurs

Parmi $200$ usagers équiprobables, $70$ vérifient $A$, $60$ vérifient $B$, et $42$ les deux :

\mathbb P(A\cap B)=\frac{42}{200},\quad\mathbb P_A(B)=\frac{42}{70},\quad\mathbb P_B(A)=\frac{42}{60}.

L’intersection et les deux conditionnements correspondent à trois références différentes.

Indépendance

Pour $\mathbb P(B)>0$, $A$ et $B$ sont indépendants si connaître $B$ ne change pas la probabilité de $A$ :

\mathbb P_B(A)=\mathbb P(A).

Ici, $\frac{42}{60}=0{,}70\ne\frac{70}{200}=0{,}35$ : ils ne sont pas indépendants. Indépendants ne signifie pas incompatibles ; deux événements indépendants peuvent se réaliser ensemble.

Voir un exemple — Vérifier une indépendance entre deux événements compatibles

Parmi les nombres de $1$ à $12$, chacun est choisi avec la même probabilité. On note $A$ : « obtenir un multiple de $3$ » et $B$ : « obtenir un nombre pair ».

Les multiples de $3$ sont $3$, $6$, $9$, $12$ :

\mathbb P(A)=\frac4{12}=\frac13.

Les six nombres pairs forment une référence non vide ; parmi eux, $6$ et $12$ sont multiples de $3$ :

\mathbb P_B(A)=\frac26=\frac13=\mathbb P(A).

Les événements sont donc indépendants. Ils peuvent se réaliser ensemble, par exemple en obtenant $6$.

Calculer dans un arbre

À chaque nœud de probabilité non nulle, les branches décrivent des possibilités incompatibles qui couvrent tous les cas : leurs poids ont pour somme $1$. Au deuxième niveau, les poids sont des probabilités conditionnelles.

Chemins

Multiplier les poids le long d’un chemin. Additionner les probabilités de chemins disjoints pour calculer celle d’un événement. Un chemin de probabilité nulle et ses prolongements ont probabilité nulle ; on ne conditionne pas sur cette référence nulle.

Arbre internet/retrait : poids conditionnels au deuxième niveau. — I : commande internet ; R : retrait en magasin. Les poids du deuxième niveau sont conditionnels.

Ici, $\mathbb P(I\cap R)=0{,}5\times0{,}20=0{,}10$, puis $\mathbb P(R)=0{,}10+0{,}5\times0{,}08=0{,}14$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi multiplier sur un chemin et additionner les chemins disjoints

Pourquoi ces trois règles ?

Dans une référence de probabilité non nulle, les branches incompatibles couvrent tous les cas : leurs poids totalisent $1$. Une part $q$ d’une référence de probabilité $p>0$ représente $pq$ dans la référence initiale. Répéter ce calcul multiplie les poids du chemin.

Les chemins disjoints ne peuvent pas se réaliser ensemble : on additionne leurs probabilités sans compter deux fois une issue. Un chemin atteint avec probabilité nulle et ses prolongements ont probabilité nulle ; aucun conditionnement sur cette référence nulle n’est nécessaire.

Répéter une épreuve de Bernoulli

Deux issues

Une épreuve de Bernoulli a deux issues complémentaires : succès $S$ de probabilité $p$, échec $E$ de probabilité $1-p$, avec $0\le p\le1$. Pour des répétitions identiques et indépendantes, ces poids restent les mêmes quels que soient les résultats précédents.

Pour $n$ répétitions, avec $1\le n\le4$, construire un niveau par épreuve et deux branches par nœud. Chaque chemin représente une succession d’issues. Les calculs supposent la loi commune et l’indépendance.

Huit chemins de trois tirages : S succès vert, E échec blanc. — Trois épreuves indépendantes : succès de probabilité 0,4, échec de probabilité 0,6.

Le chemin $SES$ a pour probabilité $0{,}4\times0{,}6\times0{,}4=0{,}096$. Exactement deux succès correspondent aux chemins disjoints $SSE$, $SES$ et $ESS$, donc à $3\times0{,}096=0{,}288$.