CoursPremière tronc commun
Variation linéaire : fonctions affines et suites arithmétiques
Suites arithmétiques
Ajouter une raison constante
Une suite associe un terme $u(n)$ à chaque rang entier $n$. Elle est arithmétique si l’on ajoute toujours la même raison $r$ :
Le terme initial et son rang $n_0$ doivent être connus. Pour tout entier $n\ge n_0$ :
Il y a $n-n_0$ ajouts. Si $n_0=0$, $u(n)=u(0)+nr$. La notation $u_n$ désigne aussi $u(n)$.
Variations et représentation
La suite est strictement croissante si $r>0$, constante si $r=0$, strictement décroissante si $r<0$. Le signe des termes ne détermine pas ce sens de variation.
Placer les points $(n;u(n))$ aux rangs entiers, avec des axes gradués. Ils sont alignés mais restent isolés.
Voir un exemple — Compter les passages
Si $v(3)=52$ et $r=-4$, alors $v(10)=52+(10-3)(-4)=24$ : sept diminutions, pas dix.
Seuil entier
Pour $u(n)=48+12n$, $n\ge0$ entier, chercher $u(n)\ge145$ donne $n\ge\frac{97}{12}$. Le premier rang est $9$ : $u(8)=144<145$ et $u(9)=156\ge145$.
Comprendre pourquoi — Pourquoi le signe de la raison donne les variations
Comparer deux termes successifs
La différence a le signe de $r$ : positive, les termes augmentent ; nulle, ils restent égaux ; négative, ils diminuent. Le signe des termes ne décide pas du sens de variation.
Fonction affine et lectures graphiques
Droite et pente
Pour $m,b$ réels, $f(x)=mx+b$ a pour courbe une droite, avec ordonnée à l’origine $b=f(0)$. Pour deux abscisses distinctes :
La fonction est strictement croissante si $m>0$, constante si $m=0$, strictement décroissante si $m<0$. La pente est un accroissement par unité d’abscisse, pas un pourcentage d’évolution.
Pour tracer la droite, placer deux points. Avec un point et la pente $m$, avancer de $1$ en abscisse et ajouter $m$ à l’ordonnée pour obtenir le second.
Pour $f(x)=k$, lire les abscisses des intersections avec $y=k$. Pour $f(x)<k$, prendre celles où la courbe est en dessous, dans le domaine étudié. Le signe se lit par rapport à l’axe horizontal ; les variations indiquent si les images augmentent ou diminuent.
Sur $[-1;4]$, pour $f(x)=2x-3$, $f(x)=1$ donne $x=2$ ; $f(x)<1$ donne $[-1;2[$. La fonction est croissante, mais négative avant $1{,}5$, nulle en $1{,}5$ et positive après.
Comprendre pourquoi — Retrouver la pente par différence de deux images
Comprendre la pente
Pour $f(x)=mx+b$, soustraire deux images donne :
Si $x_1\ne x_2$, on peut diviser par $x_2-x_1$ pour retrouver $m$. Si $x_1<x_2$, cette différence d’abscisses est positive : la différence des images a le signe de $m$, ce qui donne les variations.