Modélisation quadratique : cours de maths · Première tronc commun

Parabole, sommet et variations

Fonction de degré deux

Pour des réels $a$, $b$, $c$ avec $a\ne0$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par

\[f(x)=ax^2+bx+c\]

a pour courbe une parabole. Développer et réduire permet de vérifier que le coefficient de $x^2$ est non nul.

Lire la parabole

Son axe est vertical et passe par le sommet. Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’au sommet, puis croît : l’ordonnée du sommet est le minimum. Si $a<0$, elle croît puis décroît : cette ordonnée est le maximum.

Pour $ax^2$, le sommet est $(0;0)$ ; pour $ax^2+c$, il est $(0;c)$. Dans les deux cas, l’axe est $x=0$.

Si deux points distincts ont la même ordonnée, $f(p)=f(q)$ avec $p\ne q$, l’abscisse du sommet est

\alpha=\frac{p+q}{2}.

Le sommet est $(\alpha;f(\alpha))$. Sur un intervalle d’étude, on garde seulement les variations et les points qui appartiennent à cet intervalle.

Voir un exemple — Trouver le sommet

Pour $f(x)=2x^2-8x+3$ sur $[-1;5]$, résoudre $f(x)=3$ donne $2x(x-4)=0$, donc $x=0$ ou $x=4$. L’axe est $x=2$ et $f(2)=-5$ : le sommet est $(2;-5)$. La fonction décroît sur $[-1;2]$, puis croît sur $[2;5]$.

Symétrie autour de x=2 et minimum moins cinq. — Les points de même hauteur encadrent l’axe x=2.

Décroissance de treize à moins cinq, puis croissance à treize. — Variations de f sur [-1;5].

Racines et signe de la forme factorisée

Racines

Une racine est un réel $r$ tel que $f(r)=0$ : la parabole y rencontre l’axe horizontal. Pour

f(x)=a(x-r_1)(x-r_2),\qquad a\ne0,

le produit nul donne les racines $r_1$ et $r_2$, éventuellement confondues.

Signe

Si $r_1<r_2$, $f(x)$ a le signe de $a$ pour $x<r_1$ ou $x>r_2$, le signe opposé pour $r_1<x<r_2$, et vaut $0$ aux deux racines. On combine les signes des facteurs avec celui de $a$.

Si $r_1=r_2=r$, alors $f(r)=0$ et $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x\ne r$ : le signe ne change pas à la racine double.

Signe des deux facteurs et de leur produit dans les trois intervalles et aux racines. — Signe des facteurs et de leur produit ; multiplier aussi par le signe de a.

Voir un exemple — Coefficient négatif

Pour $p(x)=-2(x+1)(x-3)$, les racines sont $-1$ et $3$. Comme $-2<0$, $p$ est positif entre elles, négatif à l’extérieur et nul aux deux racines.

Un trinôme n’a pas toujours de racine réelle : $2x^2+1\ge1$ pour tout réel $x$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le signe change entre deux racines distinctes

Pour $f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$ avec $a\ne0$ et $r_1<r_2$, les deux facteurs sont négatifs si $x<r_1$, de signes opposés si $r_1<x<r_2$, positifs si $x>r_2$. Leur produit est donc positif à l’extérieur et négatif entre les racines ; multiplier par $a$ donne le signe de $f(x)$.

Aux racines, un facteur est nul. Si les racines coïncident en $r$, alors $f(x)=a(x-r)^2$ : le carré est strictement positif pour $x\ne r$ et nul en $r$. Le signe ne change donc pas au passage de la racine double.