Variation exponentielle : suites géométriques et fonctions exponentielles : cours de maths · Première tronc commun

Suites géométriques à termes positifs

Multiplier par une raison constante

À partir d’un terme $u(n_0)>0$ et d’une raison $q>0$, une suite géométrique vérifie

u(n+1)=q\,u(n).

Pour tout rang entier $n\ge n_0$, les termes restent positifs et

u(n)=u(n_0)q^{n-n_0}.

Il y a $n-n_0$ multiplications. Au rang initial $0$, $u(n)=u(0)q^n$. On écrit aussi $u_n=u(n)$. Le taux constant est $q-1$.

Variations et représentation

Si $0<q<1$, la suite est strictement décroissante ; si $q=1$, elle est constante ; si $q>1$, elle est strictement croissante.

Placer les points $(n;u(n))$ aux rangs entiers, en précisant les axes et leurs unités. Les points restent isolés.

Voir un exemple — Un seuil discret

Pour $u(n)=200\times0{,}75^n$, $n\ge0$ entier, on obtient $u(4)=63{,}28125>50$ et $u(5)=47{,}4609375<50$. La suite étant décroissante, $5$ est le premier rang où $u(n)<50$ ; la valeur est alors de l’ordre de $50$.

Comprendre pourquoi — Pourquoi la positivité des termes intervient dans les variations

Justifier le sens de variation

\[u(n+1)-u(n)=(q-1)u(n).\]

Comme $u(n)>0$, la différence a le signe de $q-1$. Elle est négative pour $0<q<1$, nulle pour $q=1$, positive pour $q>1$.

Fonctions exponentielles

Exposants non entiers

Pour $a>0$, la fonction $f(x)=a^x$ est définie ici pour $x\ge0$. Elle prolonge les puissances entières aux exposants non entiers. Ses valeurs sont positives ; $a^0=1$ et $a^1=a$.

Règles admises

Pour $a>0$ et $x,y\ge0$, les règles de puissances sont admises :

a^{x+y}=a^xa^y,\qquad(a^x)^y=a^{xy}.

Si, en plus, $x\ge y$, pour rester dans le domaine des exposants positifs ou nuls :

\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.

Pour $F(t)=Ca^t$, $C>0$, $t,h\ge0$, avec $t$ et $t+h$ dans le domaine étudié, $F(t+h)=a^hF(t)$ : des durées égales donnent le même coefficient.

Variations

Sur $[0;+\infty[$, $a^x$ décroît strictement si $0<a<1$, est constante égale à $1$ si $a=1$, croît strictement si $a>1$. La courbe comprend les abscisses non entières et passe par $(0;1)$.

Trois courbes nommées y=1,5 puissance x, y=1 et y=0,75 puissance x sur le domaine positif. — Les trois cas de variation sur x positif ou nul.

Voir un exemple — Conserver la base et calculer les exposants

Conserver la base et calculer l'exposant

\begin{aligned}1{,}5^{0{,}5}\times1{,}5^2&=1{,}5^{0{,}5+2}=1{,}5^{2{,}5},\\ \frac{2^{3{,}5}}{2^{1{,}5}}&=2^{3{,}5-1{,}5}=2^2=4,\\ (3^{0{,}5})^2&=3^{0{,}5\times2}=3.\end{aligned}

Racine positive et taux moyen

Racine n-ième positive

Pour $A>0$ et $n\ge1$ entier, $A^{\frac1n}$ est l’unique réel $b>0$ tel que $b^n=A$. La condition positive choisit une seule racine.

Taux constant équivalent

Pour $n\ge1$ évolutions et un coefficient global $K>0$, chercher le coefficient constant positif $q$ qui produit le même résultat :

q^n=K,\qquad q=K^{\frac1n},\qquad t_{\mathrm{moyen}}=q-1.

Compter les évolutions, pas les valeurs relevées. Les coefficients se multiplient : diviser le taux global par $n$ ne donne pas le taux moyen.

Voir un exemple — Trois évolutions

Si $K=0{,}729$ en trois évolutions, $q=0{,}729^{\frac13}=0{,}9$, donc $t_{\mathrm{moyen}}=-0{,}10$, soit une baisse moyenne de $10\,\%$. Le contrôle est $0{,}9^3=0{,}729$.