Limites, continuité et résolution d’équations : cours de maths · Terminale complémentaires

Lire et calculer une limite

La limite décrit les valeurs de $f(x)$ quand $x$ approche une borne : un réel $a$, $+\infty$ ou $-\infty$. Une limite finie $\ell$ signifie que les images deviennent aussi proches de $\ell$ que souhaité. Pour $+\infty$ ou $-\infty$, elles dépassent tout nombre fixé ou deviennent inférieures à tout nombre fixé.

$x\to a^-$ signifie $x<a$ ; $x\to a^+$ signifie $x>a$. Si les deux limites latérales diffèrent, il n’y a pas de limite unique en $a$.

\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.

À l’infini : $x^2\to+\infty$ aux deux infinis ; $x^3\to-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ ; $\frac1x\to0$ aux deux infinis. Sur $[0;+\infty[$, $\sqrt x\to0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$.

À une même borne, si $f\to\ell$ et $g\to m$ sont finies :

f+g\to\ell+m,\quad fg\to\ell m,\quad \frac fg\to\frac\ell m\ \text{si }m\ne0.

Une limite finie ajoutée à une limite infinie conserve cet infini ; deux infinis de même signe aussi. Avec un facteur infini et un autre de limite non nulle, le signe donne l’infini du produit. Même règle pour un quotient par une limite finie non nulle.

Si $g\to\pm\infty$, $\frac1g\to0$. Si $g\to0$ en restant strictement positif, $\frac1g\to+\infty$ ; s’il reste strictement négatif, $\frac1g\to-\infty$.

Les formes $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$ sont indéterminées : transformer l’expression. Pour composer, vérifier le domaine et la limite de la fonction extérieure ; pour comparer, établir une inégalité près de la borne étudiée.

Voir un exemple — Composer une limite avec une racine

Pour $x>0$, la fonction $h(x)=\sqrt{4+\frac1x}$ est bien définie. Quand $x\to+\infty$, on a $\frac1x\to0$, donc $4+\frac1x\to4$. La racine est continue en $4$ :

\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4+\frac1x}=\sqrt4=2.

Asymptotes

Si $f(x)\to\ell$ en $+\infty$ ou en $-\infty$, $y=\ell$ est une asymptote horizontale à cet infini. Si $f(x)$ tend vers un infini en $a$, même d’un seul côté, $x=a$ est une asymptote verticale.

Pour $g(x)=1+\frac2{x-1}$, définie pour $x\ne1$, on lit les asymptotes $y=1$ et $x=1$.

Deux branches de g et ses asymptotes x=1,y=1.

Continuité

$f$ est continue en $a$ si les images se rapprochent de $f(a)$ quand $x$ se rapproche de $a$ dans son domaine. Sur un intervalle, sa courbe ne présente pas de rupture ; aux bornes incluses, considérer le côté de l’intervalle.

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue. Les polynômes sont continus sur $\mathbb R$ ; les quotients de polynômes le sont sur tout intervalle où le dénominateur ne s’annule pas.

Résoudre et encadrer une équation

Théorème des valeurs intermédiaires, admis : si $f$ est continue sur $[a;b]$, $a<b$, et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$. Si $f$ est en plus strictement monotone, cette solution est unique.

Pour compter les solutions, séparer les intervalles de stricte monotonie et vérifier les valeurs et limites atteintes sur chacun. Pour une inéquation, repérer les intervalles où les images respectent l’inégalité, en examinant les bornes.

Pour encadrer une solution unique, comparer $f$ au niveau $k$ aux deux bornes. La dichotomie teste le milieu et garde la moitié contenant la solution. Un encadrement $[\alpha;\beta]$ donne le milieu comme approximation avec une erreur au plus égale à $\frac{\beta-\alpha}{2}$.

Voir un exemple — Compter les zéros sur deux branches

La fonction $f(x)=x^2-4x+3$ est continue sur $\mathbb R$. Comme $f'(x)=2(x-2)$, elle est strictement décroissante sur $]-\infty;2]$ et strictement croissante sur $[2;+\infty[$. Son minimum vaut $f(2)=-1$ et ses limites aux deux infinis valent $+\infty$.

On peut choisir $A<2<B$ avec $f(A)>0$ et $f(B)>0$. Sur chacun des segments $[A;2]$ et $[2;B]$, le théorème des valeurs intermédiaires donne un zéro ; la stricte monotonie garantit l’unicité sur chaque branche. Il y a exactement deux zéros. On les calcule ensuite :

f(x)=(x-1)(x-3),\qquad f(x)=0\iff x=1\ \text{ou}\ x=3.

Fonctions réciproques

Pour les fonctions étudiées, la continuité et la stricte monotonie sur l’intervalle assurent un unique antécédent pour chaque valeur atteinte. Une réciproque échange valeur et antécédent. Dans un repère orthonormé, les deux courbes sont symétriques par rapport à $y=x$.

y=x^2\ \Longleftrightarrow\ x=\sqrt y\qquad(x\ge0,\ y\ge0),

e^x=y\ \Longleftrightarrow\ x=\ln y\qquad(x\in\mathbb R,\ y>0).

La restriction $x\ge0$ est essentielle pour le carré : sinon $4$ aurait les deux antécédents $-2$ et $2$.