Dérivation, variations et convexité : cours de maths · Terminale complémentaires

Dériver une fonction composée

Identifier la fonction intérieure avant de dériver. Pour $a,b$ réels, si $f$ est définie et dérivable en $ax+b$ sur l’intervalle étudié :

\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a\,f'(ax+b).

Si $u$ est dérivable sur un intervalle :

(u^2)'=2uu',\qquad(e^u)'=u'e^u,\qquad(\ln u)'=\frac{u'}u\ \text{si }u>0.

Voir un exemple — Garder la dérivée intérieure

Pour $q(x)=\ln(5-x)$, le domaine est $x<5$ et $u'(x)=-1$ :

q'(x)=-\frac1{5-x}\qquad(x<5).

Variations et extremums

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, $f'\ge0$ sur $I$ implique que $f$ y est croissante ; $f'\le0$ implique qu’elle y est décroissante.

En un point intérieur $a$, si $f'$ passe du positif au négatif, $f$ a un maximum local ; du négatif au positif, un minimum local. Pour un extremum sur un intervalle fermé, examiner aussi les bornes.

Préciser le domaine, calculer $f'$, étudier son signe, puis compléter le tableau par les valeurs et limites utiles.

Comprendre pourquoi — Pourquoi le changement de variations donne un extremum

Une croissance suivie d’une décroissance place les valeurs voisines au-dessous de $f(a)$ : c’est un maximum local. Une décroissance suivie d’une croissance les place au-dessus : c’est un minimum local.

Convexité et dérivée seconde

Une corde est le segment joignant deux points de la courbe. $f$ est convexe sur un intervalle si sa courbe est sous chacune des cordes entre leurs extrémités ; elle est concave si elle est au-dessus.

La courbe x²+1 est sous la corde joignant(-1;2) et(2;5) entre les deux abscisses.

Si $f$ est dérivable sur $I$, les critères suivants sont équivalents, et admis : $f$ est convexe ; sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes ; $f'$ est croissante. Pour la concavité, inverser les positions et remplacer croissante par décroissante.

La tangente en $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Une fonction convexe n’est pas forcément croissante.

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$, sa dérivée seconde est $f''=(f')'$, et :

f\text{ convexe sur }I\ \Longleftrightarrow\ f''\ge0\text{ sur }I,\qquad f\text{ concave sur }I\ \Longleftrightarrow\ f''\le0\text{ sur }I.

Voir un exemple — Comparer une parabole à sa tangente

Par exemple, pour $f(x)=x^2+1$, on a $f'(1)=2$ et $f(1)=2$. La tangente en $1$ est donc

\[y=2(x-1)+2=2x.\]

L'écart entre la courbe et cette tangente vaut

f(x)-2x=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant0.

On vérifie ainsi que la courbe est au-dessus de cette tangente, avec contact au point d'abscisse $1$.

Point d’inflexion

Un point d’inflexion $(a;f(a))$ est un point où la fonction change de convexité. Si $f$ est deux fois dérivable au voisinage de $a$ et si $f''$ a des signes strictement opposés de part et d’autre, il y a une inflexion.

Voir un exemple — Repérer le changement

Pour $p(x)=(x-1)^3+2$, $p''(x)=6(x-1)$ : la fonction est concave avant $1$ et convexe après. Le point d’inflexion est donc $A(1;2)$.

$f''(a)=0$ ne suffit pas : $x^4$ reste convexe de part et d’autre de $0$, malgré une dérivée seconde nulle en $0$.